338 Egon Eichwahl und Andor Fodor. 



Die Summe einer solchen Reihe ist 



1 — X" 1 x° 



Sn 



1 



X 1 



Liegt X zwischen + 1 und — 1, stellt es somit einen echten Bruch 

 vor, so wird x° bei unendlichem n gegen Null konvergieren, mit ihm aber 

 x° 



auch 



1— X 



. Also ist 



S — Sn = -^^ = und S = 1 + X + x2 + x3 + in inf. = — i— . 



1 — X 1 — X 



1 1 B 



Ist X = --, so ist die Summe S = 2 ; ist x = — -, so ist S = -— usw. 



2 o 2 



Ist x kein echter Bruch, so wird die Ileihe divergent werden. 



Fig. 133. 



Der Tai/lorsche Satz. 



Es sei eine ganze, rationale Funktion (n — 1)'^" Grades (aus äußer- 

 lichen Gründen!) gegeben: 



f(x)=:Ao + AiX + A2X2 + A3X3+ +A„_ax"-^ 



Wir wollen den Versuck 

 machen, die Koeffizienten 



Aq .... An — 1 



ZU berechnen. Aus praktischen 

 Gründen wollen wir statt der 

 Veränderlichen x den Wert 

 h 

 X = a + (x — a) 

 einführen, wo a eine Konstante 

 ist, und die ganze rationale 

 Funktion als eine solche von 

 (x — a) = h entwickeln. In diesem 

 Falle erhalten wir neue Koeffi- 

 zienten und wir haben: 



f(x) = Co + Ci(x — a)+ C2(x — a)2 + C3(x — a)3+ + Cn_i (x — a)°-^ 



Den Wert des Koeffizienten Co kann ich sogleich berechnen, wenn 

 ich prüfe, welchen Wert diese Funktion für x = a*,annehmen wird. Ich 

 suche also f (a) ; 



f(a) = Co + + 0+ Also ist 



Co = f(a). 



Nun bilden wir die erste Ableitung von f(x), nämhch f;(x): 



f(x)=:l.Ci + 2C2(x — a) + 3C,(x — a)2+ ... + (n — l)Cn_i(x — a^--. 



