Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 339 



Wir setzen wieder x = a ein. Dann ist 



f(a) = C,; 



der Wert des zweiten Koeffizienten ist also ermittelt. 

 Wir bilden f"(x): 



f"(x) = 1.2.C2 + 2.3.C3(x — a) + 3.4.(x — a)2+ 



f" (a) = 1 . 2 . Ca ; also ist 



^ f7a)_f"(a) 



Setzen wir jetzt die so mit Hilfe der höheren Ableitungen l^rech- 

 neten Koeffizienten ein, so erhalten wir 



(°— ^> 



»/\ o/- t(a), , i(a), „ i(a) , , ., 



f(x)=rf(a) + — -^(x— a)+— ^7x — a)2+ . . . +- — -L. x — a) . 1) 

 • ■ 1 ^ ^ 2! (n — Ij! 



Die so gewonnene Reihe ist die TaylorSiU^e Reihe für eine ganze, 

 rationale Funktion (n — 1)*^° Grades. 



Wir wollen jetzt weiter gehen und den Versuch machen, eine beliebige 

 Funktion von x , z. B. sin x , oder e^ usw. in Form einer algebraischen 

 Funktion auszudrücken. 



W^ir sagen allgemein : 



f(x) = Co + Ci(x^a) + C2(x— a)2+ Cn-i(x-a)— 1+ 



Wenn wir in der Lage sind, den Koeffizienten C9 . . . . Cn— 1 solche 

 Werte zu geben, daß durch sie f(x) vollkommen bestimmt wird, dann ist 

 f(x) eine ganze rationale Funktion (n — 1)*^" Grades. 



Dann ist nach 1) 



f(x) = f(a) + ^(x-aj + ^(x-a)2+ ... + -^_— A_ (x - a). 



Dies wird aber allgemein nicht der Fall sein; der Wert f(x) wird 

 um so mehr angenähert, je größer die positive ganze Zahl n ist, d. h. je 

 später die Reihe abgebrochen wird, allein bei noch so großem n wird noch 



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