342 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Die Exponentialreihe. 



Es sei f(x) = e^ gegeben, mit der Aufgabe, die Funktion als eine 

 algebraische Funktion von x zu entwickeln. Wir benützen hierzu Glei- 

 chung 4j. 



Da fix) =r f (xj = f" (x) = e^ ist. erhalten wir 



X X- X3 •^{a—D 



,f,) = e^ = l + _ + _ + _+.... +^.__-, + R, 



x° 

 wo R = ^ e; I c ist zwischen und x). 

 n! 



Dieses Restglied können wir auch wie folgt darstellen: 



„XXX X ^ 



R = — . — . — — e?. 



12 3 n 



Es ist klar, daß durch diese fortwährende Multiplikation mit sehr 

 Ideinen Brüchen e? unendhch klein und damit auch R verschwindend wird. 

 Wir lassen demnach R fort und erhalten 



f(xj=l + y + ^ + ^-f ..... in inf. 



Diese, nach Potenzen von x entwickelte Reihe ist somit konver- 

 gent und zwar für jeden Wert von x zwischen + oc und — co. Mit 

 Hilfe dieser Reihe sind wir in der bequemen Lage, jeden Wert von 

 e^ durch Annäherung zu ermitteln: für x = l erhalten wir e, die Basis 

 der natürlichen Logarithmen. Es ist 



. . 1111 1 . 



e = l 4-1 +_ + — + _- + —— + — 



2 6 24 120 720 



Die Sinusreihe. 



Ist die gegebene Funktion frxj = sinx. so läßt sich für sie gleich- 

 falls Formel 4), die Mac Laur'msche Reihe, in Anwendung bringen. Es ist 



f (x) = sin X 

 f (x) = cos X 

 f (x) ■= — sin X 

 f " (x) = — cos X 

 f 4 (x) = sin X 

 usw. 

 Dann ist 



x^ x^ x^°~^ 



smx = x_^ + -- . . . . ±^2^33^ + ''" 



WO R = -4— , -f«^'- 



