Mathematische Behaudlung biologischer Probleme. 343 



Lassen wir das Restglied wieder fort, so erlialten wir auch diese 

 Funktion in Form einer Reihe und wir haben: 



x3 x^ X' x9 . . „ 



smx = x-- + ^-^ + ^-....m,nf. 



Auch diese Reihe ist konvergent. 



Die Cosinusreihe. 



Sie lautet: 



X- X* x^ 



cos X = 1 '- h — h .... in inf. 



Diese beiden Reihen werden benützt, um die Tabellen für die Werte 

 von sinx und cosx herzustellen. In Ermanglung solcher können wir uns 

 der oben entwickelten Reihen bedienen, wobei es genügt, wenn wir die 

 ersten 4 Glieder benützen, da die Reihen sehr stark konvergieren. 



Es ist z. B. 



sinl =1— 47 + ^— 4r = 0-8415 



cosl=l-jj+ ^-^ = 0-5403. 



Die Binomialreihe. 

 Die Binomialreihe wird so erhalten, daß wir die Funktion 



f(x) = (i +xj'^ 



nach der Gleichung 4 ) entwickeln. Ist k = — l bis + 1 , dann und nur 

 dann nähert sich das Restglied der Grenze 0: die Reihe konvergiert. 

 Wir finden für 



r(x) = k(l+x)''-^ 

 f7x) = k(k— Ijfl + xj'^-2 

 usw. 

 Daher ist 



f fx) == (I + xj«^ =1 +(l)x + (2)x2 + (3)x3 in inf. 



Ist dagegen k eine positive ganze Zahl, so wird sich f (xj als ganze 

 rationale Funktion darstellen lassen und die Reihe ist nicht unendhch. 

 Es sei beispielsweise x = 4, k = o. Dann ist 



3 3.2 3.2.1 3.2.1.0 , 



('1 + 4)3—1 -f — 4 + —^42 + J^^L^l^ 43 _i_ 1 44 



i^L^^, _ i -^ y-^-^ ^ ,)-^ + 1.2.3 ^1.2.3.4 



1= 1 + 12 + 48 + 64 + 

 = 125 



