Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 345 



Laut Formel 4) ist: 



, , X x2 x3 x" x5 



'"^i + ^^ = T-Y + Tr-T + ¥----- 



In ( 1 — X : 



X X2 X3 X* x5 



Folglich ist 



1 r, ,, vT , . X 1 , 1 + X X x^ x5 x'' • • P 

 — Infl + x — Ind— x)=z-- In --^- = — + — + — + — + in inf. 



2 *- J 21- — xl ö 5 i 



(Das Restglied darf wiederum fortgelassen werden.) 

 Die so gewonnene logarithmische Reihe dient u. a. zur Berechnung 

 der Logarithmen. Wir wollen beispielsweise In 5 ermitteln. Also ist 



1 + X '^ 



= 5, daher x = — -. Folglich : 



1 — X ' 3 



1 , . 2 1 8 1 32 



2 3 3 2< o 243 



+ 



1 c o r 2 1 8,1 32 , 

 ln5 = 2— + —.— + — . —rw-+ ••• 

 ^3 3 2 ( 5 243 



usw. 



Die LTmrechnung der natürlichen Logarithmen auf die 

 künstlichen mit der Basis 10 geschieht nach folgender Gleichung: 



1 Inz 1 -. 



Es ist folglich log ^o z = ^ in z. 



Dieser Modulus M beträgt 0,434 2945. 



Die gegebenen Beispiele zeigen zur Genüge, daß wir imstande sind, 

 eine Funktion in Form einer Reihe zu entwickeln, sofern diese kon- 

 vergiert. Ist dies der Fall, so wird das Restglied der Tof/Jorschen und 

 Mac La uri tischen Reihe sehr klein und wir dürfen es vernachlässigen. 

 Hierdurch gelangen wir zu einer unendlichen Reihe. Je nach den Anforde- 

 rungen an die Genauigkeit und je nach der Stärke der Konvergenz brechen 

 wir die Reihe beim n-ten Glied willkürlich ab und entwickeln unsere Funk- 

 tion f (x) als eine ganze rationale (algebraische) Funktion. Ferner machen 

 wir von diesen Darlegungen Gebrauch zur Ermittlung unbestimmter 

 — scheinbar unbestimmter Ausdrücke. 



Unbestimmte Ausdrücke. 



Gelegentlich der Besprechung der Sinusfunktion haben w'ir ange- 

 nommen, daß sich die Beziehung 



sina 



