Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 347 



wird, so müssen wir die beiden Funktionen so umwandeln, daß wir zu 

 einem bestimmbaren Ausdruck gelangen. Ein geeigneter Weg, die Funk- 

 tionen umzuwandeln, liegt in der Möglichkeit, sie als Reihen zu entwickeln. 



Es ist f('a) ,. f(x) 



-—4- = hm —-— ; 



S(^) (x-a)=Og<^^) 



g(-) g(a)+^(x-a)+... 



ist , fYa). . 



f(xj f(aj + -2y-fx-a)+... 



ff(x) , g' (a) , 



^^ ^ g(aj+^(x-a)+ 



,. f(x) f (ai 



lim = — r— T-- oomit ist 



(x-a) = Og'^' §'^) 

 lim 



und da f (a) = g(a)=:0, 



und 





g ia) 



In Worten ausgedrückt: Wir ersetzen Zähler und Nenner des unbe- 

 stimmten Quotienten durch die ersten i Ableitungen der betreffenden 

 Funktionen und gelangen hierdurch zum wahren Wert des Quotienten. 



Zu unserem Beispiel zurückkehrend, wo 



f(x) x3-h2x — 3 



. , = — — = wird 



g(x) 2x2— 7x-Fo 



f'(x) = 3x2 4-2, g'(x)=:4x — 7; für x = l wird 



f(l) = 5 und g'(l) = — 3 



:(x) 



lim 





f(x) 1 — + x)2 



—7^ = , /, ; für X = 0. 



g(x) In(l-t-x) 



f(x)=:.^2(l-fx);g'(x)=^; 



f'(0) = -2: g'(Oj = i. 



hm —, — = — 2. 



x = Og^^^ 



f ( xj sin X 



g (x) X 



f (x) cos X 



f'(x)=cosx; g'(x)= 1. 



g'(x; 1 



, ein Ausdruck, der für x = in 1 übergeht: 



lim ■ 

 x = 



sinx 

 hm = 1. 



