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Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Auch hier prüfen wir statt i'" (;) einfach f" (a) in bezug auf das 



Vorzeichen, denn auch hier gelten die vorhin gebrachten Überlegungen. 



Wenn wir uns über die Bedeutung von (x^ — a) klar sind, so werden wir 

 sogleich begreifen, daß, falls 



f-(a)>0, 



d. h. positiv oder negativ ist. weder ein Maximum noch ein Minimum in 

 a herrschen kann. Hg. 142 zeigt, daß beim Über- 

 Figi42- gange durch a die Differenz (x— a) ihr Vorzeichen 



unbedingt wechselt. Folglich muß (x — a)* sowohl 

 positiv als auch negativ sein können und dement- 

 sprechend auch f(x) — f(a). 



Ist ferner f" (a) = 0, so suchen wir die Ent- 

 scheidung bei der vierten Ableitung, fw(aj. 

 •^^^ Wir gelangen auf Grund dieser Angaben zu 



folgendem Verfahren : 



Man prüft zunächst alle jene Stellen, für 

 welche 



i' (x ) = 



ist, also a, aj, a.2 .... a^. Jetzt wählt man eine derselben aus (a) , bildet 

 f"(x) und setzt darin a ein. 



Ist 



Ist 



a) f'(a)>>0 : in a herrscht Minimum, 



b) i" (a) <! : in a herrscht Maximum, 



c) i" (a) = : man prüft i'" (a). 



a) f"(a) ^ 



weder Maximum noch Minimum in a. 



b) f"(a) = : man prüft f w(a). 

 usw. 



Eine definitive Entscheidung bringt jene Ableitung, die zum ersten 

 Male nicht verschwindet. Ist diese 



a) eine geradzahlige, so ist Kulmination vorhanden; 



b) eine ungradzahlige, so herrscht keine Kulmination in a. 



Wende-(Inflexions-)Punkte. 



Die zuvor erörterten Kulminationspunkte dürfen wir auch rein 

 geometrisch formulieren: ein Maximum oder Minimum entsteht, wenn die 

 Tangente der Kurve (in einem bestimmten Intervalle) algebraisch stetig 

 ab-, bzw. zunimmt und einmal parallel zur x-Achse wird. 



Fig. 143 zeigt, daß das Bogenmaß des Winkels t mit wachsendem x 

 stets kleiner und kleiner, endlich Null wird und dann, mit negativen Vor- 

 zeichen, ständig wächst. Wir erhalten etwa folgende Kurve der Tangente: 



