Mathematische Behandlung biolo<rischer l'rol)leme. 357 



Um den Wendepunkt zu finden, hat man somit die zweite Ableitung 

 der Funktion =0 zu setzen und alle jene Werte für x zu suchen, die 

 diesen Bedingungen genügen. 



Beispiele: 



Aus der analytischen (reometrie: 



f(x) = 2ax — x2; 



f (x) = 2a — 2x = 2(a - x). 



Wir setzen die erste Ableitung = 0: 



2(a— x) = 0. 

 Dann ist 



X = a. 



Folglich besitzt die Funktion in a einen Kulminations- (ev. Wende-) 

 punkt. Da 



f"(x)=: — 2, 



somit negativ ist, herrscht in a ein Maximum. 

 Substituiert ist 



f (a)=:a-. 



Wir haben die Aufgabe, aus einer konstanten Summe ein Viereck 

 zu konstruieren, das von allen möglichen Vierecken den größten Fhächen- 

 inhalt besitzt. 



X + y = konstant : die Fläche ist das Produkt x y = z. 



Wir setzen 



X 4- y =: 2 a und folglich ist y = 2 a — x ; also ist 

 f(x)r=z = x(2a — x) = 2ax — xl 



Das oben durchgeführte Beispiel bewies, daß f(x) ein Maximum in 

 a besitzt. Folglich erhalten wir den größten Flächeninhalt, wennx=y=a. 

 Dies ist ein Quadrat (a-). 



fix) = x(a — x)-; 



f (x) = (a — x)2 — 2 X (a — x) = ( a — x) (a — a x). 



(a — x) (a — 3 X ) — 



Die Wurzeln dieser Gleichung sind x, =a: x., = -tt-. 



f(a) = y,^Ound i[^]^y,=^. 



f"(x) = — l(a — :-ix) — 3(a — x) = 2(ox — 2a). 



