Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 363 



deren Differential f'(x)dx ist. Man bezeichnet diese Operation durch das 

 sogenannte Integralzeichen /, ein langgezogenes S, da, wie wir sogleich 

 sehen werden, die Integration auch als die Summierung von unendüch 

 vielen, unendlich kleinen Größen aufgefaßt werden kann. Wenden wir das 

 Integralzeichen auf die obige Gleichung an. so erhalten wir 



/df(x)=r/f(x)dx. 



Dies soll gleich fix) sein, so daß /df(x) = f(^x) ist. mit anderen AVorten: 

 Differentiation und Integration sind zwei entgegengesetzte 

 Operationen, die sich gegenseitig aufheben, ebenso wie Addition und Sub- 

 traktion, Multiplikation und Division oder Potenzieren und Wurzelziehen. 

 Man kann deshalb die Richtigkeit einer ausgeführten Integration dadurch 

 prüfen, daß man den erhaltenen Ausdruck differenziert. Dann muß man das 

 unter dem Integralzeichen stehende Differential wieder erhalten. Ist also 



. />(x)dx = f(x) , so ist df ( X ) = f '( x ) . dx. 



Es wird gut sein, dies zunächst an einigen Beispielen zu erläutern. 



Beispiele. 



1. Es sei i(X)=:4:X. 



Dann ist df(x; = f '( x)dx = 4 . dx. 



4x ist also die Funktion, deren Differential 4 . dx ist; 



demnach J 4dx =: 4x. 



2. Es sei f(x) = 3x^ 

 Folglich 



df(;x) = f'(x)dx^l2x3.dx. da 



^i^ = 12x.. 

 dx 



Demnach ist 3 x^ die Funktion, deren Differential r2x3dx ist, d. h. 



j'l2x3dx = 3x-'. 



Wenn in dem letzten Beispiel f(x) statt ox* den Wert :)X*4-Chat, 

 wo C eine Konstante bedeutet, so ist das Differential ebenfalls gleich 



1 2 x3. Es ist — -4 -= 12 x^ da das Differential einer Konstante gleich 



dx .^ 



Null ist. Infolgedessen ist auch 3 x* + C ein Integral von 12x3. xjm also 



das allgemeine Integral von 12x3dx aufzuschreiben, müssen wir noch die 



unbekannte Konstante G hinzufügen: 



/l2x3dx-3x^ + C. 



Das Integral hat demnach unendlich viele Werte, aber diese un- 

 endlich vielen Werte haben nur algebraisch einen Sinn. Für ein bestimmtes 

 naturwissenschaftliches Problem hat die ..Integrationskonstante- G, 

 wie man sie nennt, allemal einen Wert, den mau aus der Natur der be- 



