Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 365 



Dividiert man diese Ungleichung durch Ax, so erhält man y < — A-^<; Vi- 



Für lim Ax = o. ^^•ird jetzt v = v,. Also auch ,. ^ | , , = ^^ =: v. 



' ' hm L A X J Ax = dx 



Mit anderen Worten, wenn man die Fläche F als Funktion 



f(x) von X darstellt, so ergibt sich y als die Ableitung von f(x) 



nach x: 



Es ist also f (x1 = / f (x) d x =:/y d x. 



Ist demnach y als Funktion von x bekannt, yz=zo{\y so ergibt die 

 Fläche F sich als das Integral von ydx: F = /®(x)dx. 



Da die x\nfangsabszisse OA' vorläufig willkürlich ist. so ist auch F 

 noch nicht fest bestimmt. Dies ist die geometrische Bedeutung der 

 Integrationskonstanten. die in obiger Gleichung noch fehlt. 



Also ist F=./ydx + C=:f(x,H-C. 



Man nennt ein solches Integral ein unbestimmtes Integral. Bei 

 einem unbestimmten Integral ist die funktionelle Abhängigkeit des ge- 

 suchten Integrals von x genau bekannt. Unbestimmt dagegen sind die 

 Grenzen, innerhalb deren man das Integral bestimmen will. So können 

 wir in Fig. 161 den Flächeninhalt F zwischen zwei beliebigen Abszissen 

 bestimmen. Es sei OA'=rXi. 0B'=:x2. Dann ist 



OMBB' = /ydx + C 



OMAA'-/ydx + C 



Folghch 



AA'BB'r=/ydx — /ydx. 



Diese Differenz schreibt man Jydx und nennt dies das bestimmte 



X, 



Integral von ydx zwischen den Grenzen x^x., undx — Xj. Xj nennt man 

 die obere, x^ die untere Grenze. Die Konstante fällt fort infolge der Sub- 



a 



traktion. Für X2 = a und Xi=b ist dann 7ydx = f(aj — f(bj. Man schreibt 



dies auch f(x)|'\ 



Wir erwähnten oben schon, dali das Integralzeichen das Zeichen für 

 eine Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Größen ist. In der 

 Tat können wir in Fig. 161 den Flächeninhalt F auch berechnen als die 

 Summe von Rechtecken, die entstehen, wenn man F durch Parallele zur 

 y-Achse in Streifen zerlegt. BB'C'D sei ein solcher Streifen. Wir ziehen 

 B C parallel zur x-Achse. 



