368 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



IL Satz: Ein bestimmtes Integral zwischen den Grenzen a und b 

 kann dargestellt werden als die Summe zweier anderer bestimmter Inte- 

 grale, deren Grenzen zwischen a und c, sowie zwischen c und b liegen, c ist 

 dabei willkürlich gewählt. 



a <■ a 



Es ist also jf (\)d.\ = /f'(xjdx+/f'ixjdx. 



'b 'b ' "c 



Die Richtigkeit dieser (Tleichung kann leicht bestätigt werden, indem 

 man für die Integrale ihre Werte einsetzt. 



a 



/f'(x)dx=rf(a)— f(b). 



"b 

 c 



/f'ix)dx = f(c) — f (b). 



"b ■ 



a 



./f (x)dx = f(a)— f(c). 

 Addiert man die beiden letzten Gleichungen, so erhält man 



c a a 



jf(xjdx+jf'(xjdx==f(aj — f(bj=:jf'(x)dx. 



b c b 



Statt das Integral in zwei Teile zu zerlegen, kann man es natürlich 

 auch in mehrere Teile zerlegen, etwa in folgender Weise: 



a c d a 



/f'(x)dx =fi'(x)dx + / f' (x)dx +/f (x)dx. 



b b c d 



III. Satz: Das Integral einer mit einem konstanten Faktor multi- 

 plizierten Funktion ist gleich dem Integral der Funktion, multipliziert 

 mit dem konstanten Faktor. 



Also jAf(x)dx = A/f(x)dx. 



Es ist A/f'(x)dx = Af(x) + C. 



Da nun Adf(x)r= d[Af(x) -|- C)], so ergibt sich 



A /'df (x) = Af (x) = / d [A(f (x) + C)]. 



Kommen also unter dem Integralzeichen konstante Faktoren vor, so 

 können diese vor das Integralzeichen genommen werden. 



Berechnung von Integralen. 



Wir sind jetzt imstande, eine Reihe von wichtigen Integralen zu 

 berechnen. Zunächst wollen wir solche Integrale betrachten, die durch ein- 

 fache Umkehrung von Differentialen bestimmt werden können. 



Ist nämUch dy=rf'(x)dx, so ist nach der Definition des Integrals 

 y=/f(x)dx. 



