370 Egon Eichwald und Audor Fodor. 



Es ist nämlich 



f (x)dx + g'(x)dx = d [f (x) + g(x) + C]. 



Also a) f [i' (x) dx + g' (x) dx] = f (x) -^ g (x) + C. 



Nun ist/f(x)dxi=f(x) + Ci 

 /g'(x)dx = g(x) + C, 



Also h) fi' (x) dx + fg' (x) dx = f (x) + g (x) + C, + Co. 



Da alle Konstanten willkürlich sind , so erhält man aus a) und b) 



/[f (x)dx4- g;(x)dx] =j f (x)dx + jV(x)dx, 



in Worten: Das Integral einer Summe von Differentialen ist gleich 

 der Summe der Integrale der einzelnen Differentiale. 



Wir sind jetzt bereits in der Lage, die Integrale aller ganzen ratio- 

 nalen Funktionen zu bilden, aller solchen Funktionen also, die durch 

 die drei ersten Grundoperationen gebildet werden. 



7. j'(ax™ + bx°— cx2)dx. 



Es ergibt sich 



/(ax" + bx° — cx'-)dx — j'ax"dx + /bx° . dx— /cx^dx^ 



a , , b , , c 



vm + i _] x° + ^ r-'^- 



m+ 1 n+ 1 3 



8. Es soll /-^ gebildet werden. 



Wendet man Formel 3 an, so erhält man: 



J^ =/x-.dx = ^-i^x-... + C = ^ + C =1 + C. 



Dies Integral ist weiterhin = oc + C. Da man für C den Wert — c» 



rdx 

 einsetzen kann, so erhält man /^^ = + 00 — c», d. h. ein unbestimmter 



Ausdruck, den man erst näher ermitteln muß. Man kann dies auf folgende 

 Art erreichen: 



In Formel 3 setzt man statt C den Wert + Ci. Dann wird 



n+ 1 



/x'^dx = x°+' + C' — 



n + 1 n + 1 



+ C'. 



n + 1 



x^ + i ^1 x" — 1 



Setzt man ietzt n = — 1, so wird ^ ; h C' = — :; — +C'. 



n+1 — 1 + 1 



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