Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 371 



X° + i — 1 



Hier läßt sich der unbestimmte Ausdruck — für lim n = — 1 



n+1 



nach den auf S. 345 abgeleiteten Regeln berechnen, wobei zu beachten ist, 



daß die Variable n und nicht etwa x ist. 



iJas Differential des Zählers nach n lautet: 



d(x°+i — l) = x°+^ .Inx . dn (vgl. S. 312). Das Differential des Nenners: 



d (n + 1 ) =: 1 . dn. 



IAlso ist 



x° + i — 1 ,. x°+i.Inx x".Inx , 

 lim ; — = hm = — ; = m x. 



n = -l ^+1 n = -l 1 1 



Es folgt demnach 



(Mx 



J 



=:lnx + C'. 



X 



In der Tat ist d In x = 



X 



Wir sehen also , daß Formel 3 auch für den Fall, daß n = — 1 ist, 

 gültig ist, aber infolge der Unbestimmtheit des zunächst entstehenden 

 Ausdrucks einer Umgestaltung in der angegebenen Weise bedarf. 



9. Bisher haben mr nur solche Differentiale integriert, in denen die 

 Variable x als Faktor auftrat. Jetzt wollen wir das Differential e^ dx und 

 a^dx integrieren, in dem x als Exponent auftritt. 



Es ist d(e^) = e^dx. 



Hier ist e die Basis der natürlichen Logarithmen. 



Ferner ist d (a^) = a^^ . In a . dx. 



Aus diesen beiden Gleichungen folgt sofort: 



/e^dx = e^ + C 



fa.^ . In a . dx = a^ + C und 



/'a^ . dx = -^ h C. 



"^ Ina 



10. a) d sin X = cos x . dx. 

 Folgüch J cos X . dx = sin x + C. 

 b) d cos X = — sin x . dx. 

 Folglich J sin X dx = — cos x + C. 

 Es war ferner 



dx 



11. d(tgx)=— ^. 



^ ^ cos^x 



Also / — ^=tgx+C. 



JCOS^X 



dx 

 b) d(cotgx) = 



sin-x 



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