Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 373 



Also dx = dt und f-^ = f-^ =lnt — C. 

 J X — a J t 



r dx 



Folglich ist / = In (x — a) 4- C. 



J X — a 



Allgemein kann man sagen, daß Integration durch Substitution immer 

 dann zweckmäßig ist, wenn sich die neue Variable an Stelle eines kom- 

 plizierten Ausdrucks einführen läßt, ohne daß die Gestalt der Funktion 

 durch die Substitution geändert wird. Aber auch sonst kann die Substitution 

 von Vorteil sein. 



dx 

 cos2(ax — bj 

 Man setzt ax — b = t. 



dt 



3. Es soll / — TT-^ — ermittelt werden. 



J C( 



Dann ist adx = dt und dx = 



a 



Und es wird / — -^ — j- = /— ^ = — tgt (vgl.S. 371.Xr. 11). 

 Jcos2(ax — b) Jacos-t a ^® ^ 



^''» '^* /cosHax-b) = i'g(""-'') + ^- 

 4, re*^ + ^dx soll berechnet werden. 

 Es sei a X + b = t. 



Dann ist a d x = dt und d x = — . 



a 



1 e* 



Es wird re*^ + ''dx = — /eMt = — . 

 •^ a •' a 



Folglich ist re^^ + ''dx = — .e*^ + ^ + C. 



a 



It. 



dx _ ^ 



(a — bx)6 

 Es sei a — b x = t. 

 Also dt = — b d x. Daraus ergibt sich : 



J(a— bx)5~J— bts~ bJt^~ bJ ''^-^4b 



(a— bxj5 J— bt» bJ t» bJ 4b" 4bt* 



r dx _ 1 



(a— bx)6~4b(a— bx)^ 



Also ist -. ^-tt = 7t:7 vTTi + C. 



J (a, — bx)» 4b (a — bx)* 



A 



xdx _ 



a2 + xs 

 Es sei a2 + x2 = t. Also dt = 2 x dx. 



Folglich ist J-^^^ = i-ln(a' + x>) + C. 



