374 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Bei diesem Integral ist durch die Substitution a^ + x^ = t das Inte- 



gral auf die Form / — gebracht worden. Offenbar ist dies immer dann 



möglich, wenn der Zähler des zu integrierenden Ausdrucks das Diffe- 



dx 



) 

 hat. Setzt man dann f(x)=:t, so wird dt = f(x)dx und 



'ffxjdt rdt 



ri' (s) dj 

 rential des Nenners ist, wenn also das Integral die Form / — r^ — 



"^ J f(x) 



ß 



f(xj 



= /-^ = lnt=lnf(x). 



7. Es sei z. B. 1-^^^ — r— dx zu berechnen. 



J ax- + bx 



Setzt man ax- + bx = t, so wird dt = (2a x + bj dx. 



T^ . , / '2a X + b , rdt , , , „ , ^ 



Dann ist / ^dx = /— = Int = Infax^ + bx) + C. 



J ax- + bx J t ^ 



f'i' ( X ) dx 



8. Häufig ist die Form des Integrals / — „ / ■■ jedoch nicht un- 

 mittelbar gegeben, sondern muß erst durch eine vorherige Umgestaltung 

 geschaffen werden. Auch ein solches Beispiel wollen wir noch untersuchen. 



Es soll berechnet werden : j tg x dx. 



Da tg X = ' ist, so ist dieses Integral = - — ' ' \ 



cosx J cosx 



Nun ist d (cos x) = — sin x . dx. Es sei jetzt cos x = t und 



dt=: — sinx.dx. 



Folglich ist / =/ — : — = — lnt = — Incosx + C. 



J cosx J t 



9. Von Wichtigkeit ist wegen späterer Anwendungen auch folgendes 



Integral: / . Man setzt hier x = a.t. Also dx = adt und es wird 



^ J a2 + x-^ 



/— -=r / — = — — = — arctgt = — arctg — (siehe 



J a2 + x2 J a--^ + ans a 7 I + t^ a ^ a * ^ a >* 



S. 372, 12, b). 



Auf dieses Integral läßt sich ein anderes Integral zurückführen, 



dessen wir später bedürfen, nämUch /-; ^- — r— 



J (x — a)2 + b2 



Man setzt '—, — = t. Dann wird dx = b dt und 

 b 



r dx r b dt _ 1 r dt _ 1 ^^ x^^_ 



J (x — a)2 + b2 JbV ix — a)^ i il" bjt^+l" b ^^^ ^ ~ 



l b2 "^ J 



1 ^ x — a ^ 

 = _arctg-^ + C. 



