Mathematische Behandliing biologischer Probleme. 375 



Es würde natürlich weit über den Rahmen dieser Darstellung hinaus- 

 gehen, wenn wir alle naturwissenschaftlich wichtigen Ausdrücke hier ab- 

 leiten wollten. Es muß genügen, einige der häufiger in Betracht kommenden 

 Formeln zu entwickeln und vor allem die Hauptmethoden anzugeben, nach 

 denen die Integrationen ausgeführt werden. 



Wir wenden uns jetzt der zweiten der oben genannten Methoden zu, 

 der Integration durch partielle Integration. 



Die partielle Integration. 



Der Sinn dieser Methode liegt in folgendem begründet : Wie wir in 

 der Differentialrechnung (S. 316) sahen, ist das Differential 



d(u.v)=:v.du-(-udv. u und v sind hier Funktionen von x. 



Integriert man diese Gleichung, so erhält man 



u . y=ij\. du -}- / udv, 



d, h. man ist imstande, die Integration von v . du auf die Lösung des In- 

 tegrals u . dv zurückzuführen, und man wird dies allemal dann in der Praxis 

 tun, wenn/udv leichter lösbar ist als /v du. 



Aus der obigen Gleichung ergibt sich alsdann 



j v . du = u . V — j u . dv. 



1. Es soll Jlnx.dx berechnet werden. 



Man sieht hier sofort daß die Methode der partiellen Integration 



angebracht ist, da dlnx = — . dx ist und folglich das neue Integral ein- 

 facher wird als das ursprüngliche. 



Um /in X . dx zu berechnen, setzen wir 

 u = lnx und v = x. 



Dann ist du = d In x =r — . dx. 

 x 



dv = dx. 



Es wird also / lnxdx = / u . dv = u . v— /v . du. 

 Nun ist weiterhin u . v — x . In x. 

 Ferner ist 



J V du = / X . — dx =r /dx = X. 



Also ist judv = xlnx — x = x(lnx — 1). 

 Es folgt also schließlich 



/lnx.dx = x(lnx — 1) + C. 



2. Eine ähnliche Umformung ist offenbar immer dann möglich, 

 wenn unter dem Integralzeichen Inx mit einem andern Ausdruck 



