376 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



multipliziert ist, dessen Integral durch x dividiert, leicht integrierbar ist, 

 z. B. / x'-lnx . dx. Natürlich muß auch dv leicht integrierbar sein. 



Es ist hier u = In x. du = — . dx. 



X 



dvmx-dx. v=— -x'. 



o 



Folglich ist 



fudv= /'x'^nx . dx=ruv — /vdu = (lnx). [-tt-x^J — /— -x'.-^dx. 



Das Integral — -/x'^dx ist = -^x'. 



Also /x2lnx.dx = — xMnx — x' + C. 



^ 3 9 



3. Die Methode der partiellen Integration ist mit Vorteil auch in 

 solchen Fällen anzuwenden, in denen das Differential x als Faktor ent- 

 hält. Dadurch wird, wenn man x = u setzt, du=:dx. 



Z. B. /x.e".dx=:? 



Es werde gesetzt x = u. dv = e".dx. 



Dann ist dx = du. v=:/e'^dx=: — . e". 



a 



,/x. e*^. dx = /u . dv=:u . v — /vdu = 



1 1- 1 f 1 ">e*^/'l^ 



^x.e*^ /e''-^ . dx:= — x. e" .e'^^ = ix + C. 



a a a*^ a-a^a-^ 



4. /x sin x , dx soll berechnet werden. 



Man setzt v=: x. Dann ist du = sin x . dx. Also dv = dx und u = — cosx. 

 Ferner wird ./vdu = u . v— ju . dv = — xcosx + Jcosx . dx=— xcosx + sinx. 

 p]s ist also /x.sinx.dxrr: — xcosx + sinx. 



5. Besonders deutlich tritt das Prinzip der Methode der partiellen 

 Integration, nämlich die Zurückführung eines komplizierteren Integrals auf 

 ein einfacheres bei dem folgenden Beispiel hervor. Es soll integriert 

 werden: _/ (Inx)^ . dx. 



Man setzt v = (lnx)3 und du = dx. 



^ . 1 , d(lnx)' dlnx o/i n„ 1 j j 



Dann wird dv^r-^-. — —.—, — = 3(lnx)2. — . dx und u=:x. 

 dlnx dx ^ ^ x 



Folglich wird /'vdu=:uv — ^^/udv=:x(lnx)3 — 3 /(^Inx)^ . dx. 



Durch diese Umformung hat man _/(lnx)3dx auf das einfachere 

 Integral /(lnx)2.dx zurückgeführt. Dies läßt sich durch Wiederholung 

 derselben Operation auf jlnx.dx zurückführen und dies schließlich un- 

 mittelbar integrieren. 



Es ergibt sich — 3/(lnx)2 . dx = — 3[x . (lnx)2— 2/(lnx)dx] = 



— 3x . (lnx)2 + 6./'(lnx)dx = • — 3x(lnx)2 + 6(xlnx— x). 



