Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 377 



Also wird schließlich 



/(lnx)3 . dx = X . (In x)»— 3 x (In x)^ + 6 x (In x— 1) + C. 

 In ähnlicher Weise läßt sich allgemein / (In x)" . dx durch Zurück- 

 führen auf /(lnx)"-^dx berechnen. 



Die Zerlegungsmethode. 



Diese Methode ist deshalb von größter Wichtigkeit, weil sich durch 

 ihre Benutzung eine allgemeine Lösung der Integration von gebrochenen 

 rationalen Funktionen ergibt. Wir sahen oben (S. 869), daß sich jede 



ganze rationale Funktion mit Hilfe des Integrals /ax".dx = . x°+^ 



*= ^ •' n + 1 



lösen läßt. Jetzt wollen wir sehen, wie sich gebrochene rationale Funk- 

 tionen integrieren lassen. 



Zuvor suchen wir das Wesen der Methode zu erfassen. 



1. Es soll integriert werden / ■ — . 



J X- — a- 



Es ist x'^ — a2 = (x + a) (x — a). 



Also ist /— -= r-7 — 



J x2— a2 J(x + a)(x — a) 



Wir wollen nun den Ausdruck -. — in der Weise zerlesren, 



(x + a)(x — a) ^ ' 



daß zwei Brüche mit den Nennern x + a und x — a entstehen. 

 1 1 X + a — X + a 2a 



Es ist 



X — a x + a x2 — a2 x'^ — a^ 



1 1 r 1 1 



Also ist „ „ « , 



x2 — a2 2a '^x — a x + a 



Daraus folgt 



f dx _ 1 er dx r dx ^ 



Jx2.^a2~2ayx — a Jx + a^ 



Jedes einzelne dieser Integrale ist, wie wir oben (S. 372) gesehen 

 haben, leicht nach der Substitutionsmethode zu lösen. Es ist nämlich 



/ = ln(x — a) und / = ln(x + a); 



J x— a ^ ' .7 x + a V ^ ^' 



^^^z = 2^ [in (^ - a) - In (x + a)] wird. 



Oder auch / — - — = — In 

 Jx2 — a2 



dx 1 , X — a 



-— In , 



2a X + a 



ErmögUcht wurde diese Lösung durch die Zerlegung des im Nenner 



quadratischen Bruches — in die zwei im Nenner linearen Brüche 



X- — a- 



und 



X — a x + a 



