380 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



F(x) 

 Der echte Bruch laute ^ > , . Da die Zähler der Partialbrüche kon- 



G(x) 



staute sein sollen, so wird 



1. F(x) _ A B 



G(x) ~ X— a"^ X — b' 



wenn G(x) vom zweiten Grade ist. Wenn man nämlich G(x) = o setzt 

 und die Wurzeln dieser Gleichung ausrechnet, die Xj = a und Xg = b sein 

 mögen, so erhält man 



G(x) = (x— ai (X — b). 



Eine ganze rationale Funktion n-ten Grades lälH sich in n solche hneare 

 Faktoren zerlegen (vgl. S. 268). Diese Faktoren erhält man immer, indem 

 man G(x) = o setzt und die Gleichung nach x auflöst. Hierbei gibt 

 eine Funktion n-ten Grades n -Werte (vgl. S. 268 ) , so daß schließlich 

 6 (x) = (X — aj) (X — a,) (x — a,) . . . . (x — an) wird, wo aj, a,, ag . . . . an die 

 n Wurzeln der Gleichung G(x) = sind. 



Der erste Schritt bei der Partialbruchzerlegung ist also die Auf- 

 findung der Nenner der Partialbrüche durch Auflösen der Gleichung 

 G(x) = o. Ist G(x) quadratisch und sind a und b die Wurzeln, so sind 

 die Nenner der Partialbrüche x — a und x — b. Um jetzt A und B zu 

 finden , multipliziert man Gleichung 1 mit (x — a) (x — b) = G (x j. Man 

 PT*n alt 



F(x) p, ._ A(x — b)(x-a) B(x-a)(x — b) 

 G(x) ■^~ x-a ^ X — b 



Oder 



2. F(x) = A(x — b) + ß(x — a). 



Jetzt hat man drei Wege, um A und B zu berechnen. 

 I. Die Gleichung 2 ist gültig für alle Werte von x. Setzt man also 

 x = a, so erhält man, da x — a = o wird, 



F(a) = A(a— b) oder A = -^^. 

 ^ a — b 



Ebenso erhält man. wenn man x=rb setzt, 



F(b) 



F(b) = B(b — a) oder B 



IL Ein zweiter praktischer Weg ist der folgende: 



Die Gleichung 2 kann nur dann für alle Werte von x richtig sein, 



wenn die Koeffizienten der gleichen Potenzen von x auf der rechten und 



linken Seite der Gleichung unter sich gleich sind. 

 Ist F (x) = r X -I- s, so wird 



rx + s = A(x — b)-hB(x — a). 

 rx -h s = (A -h B)x — (Ab -h B a). 



