Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 381 



Die Koeffizienten von x^ sowie von x» müssen unter sich gleich 

 sein, also 



r=:A + B und 



s = — (b A + a B). 



Aus diesen beiden Gleichungen läßt sich ohne Mühe A und B berechnen. 



III. Ein dritter, häufig bequemer Weg zur Berechnung der Zähler 



der Partialbrüche besteht in folgendem: 



F(x) A B 



Es sei wieder -:;- — = 1 r- Man bildet die Ableitung des 



G(x) X — a X — b ^ 



Nenners G'xr= — ^ — -. Dann bildet man den Ausdruck -^-- — • Setzt man 

 dx G'[x) 



hier statt x den Wert a ein, so erhält man „,' \ -. Dies ist aber = A. Der 



G'(aj 



Beweis dieses Satzes würde uns hier zu weit führen. -;:r)-r- ist B. Und 



G'(b) 



ebenso erhält man bei mehr Partialbrüchen die anderen Konstanten. 



Wir wollen nun, da die Partialbruchzerlegung besonders für Probleme 



der chemischen Kinetik von Bedeutung ist, einige praktische Beispiele 



durchrechnen. 



4x- 15 X +19 



Es soll 7^-— — '■— 7 in Partialbrüche zerlegt werden. 



x3— 6x2+llx — 6 ^ 



Da hier der Koeffizient der höchsten Potenz des Nenners bereits 

 = 1 ist, so können wir sofort G(x)=ix3 — 6x'-+llx — 6 = setzen, um 

 die Nenner der 3 Partialbrüche aufzufinden. 



Es ergeben sich als Wurzeln dieser Gleichung 



x, = l; Xo = 2; X3 = 3. 



Also ist xs— 6xa+llx— 6 = (x— l)(x— 2)(x — 3). 

 Der Partialbruch wird also 



4x2— 15X + 19 ABC 



(x- l)(x— 2j(x— 3j ~ X— 1 X— 2 X— 3" 

 Jetzt multiplizieren wir mit (x — l)(x — 2)(x — 3) und erhalten 

 4x2— 15x+19 = A(x— 2)(x— 3) + B(x— l)(x— 3)+C(x— l)(x — 2). 

 Setzt man jetzt nach Verfahren I x:=Xi, also x = l, so wird 



8=:A.(-l)(-2) 



2A = 8. A=:4. 

 Ebenso wird für x = 2 



5 = B.l.— 1. 



B = — 5. 

 Und für x = 3 



10 = C.2.1 



C = 5. 



