384 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Das erste Integral hatten wir schon früher (S. 372) gelöst. 



Es war / — ^— ^=:Aln(x — a). 

 J X — a 



r Px + Q 

 Um I — -f— . dx zu berechnen, wollen wir uns erinnern, daß 



J (X aj- + D- 



nach S. 374 r4^dx = lnx ist. 



Wenn also der Nenner f(x)=:(x — a)"-+b- ist, so müßte der Zähler 



dr(x— a)2 + b2l 



f'(x)=:-'= i-=:2x — 2 a sein, um diese Form anzunehmen. 



dx 



Man kann nun einen Teil von Px + Q in diese Form verwandeln, || 

 indem man Pa subtrahiert und wieder addiert. Es wird dann ' 



Px -f Q = Px— Pa + Pa + Q =-i- P (2 x— 2 a) + Pa + Q. 

 Dann wird 



f P^ + Q 1 - ^ p / ^(2x— 2a)dx r Pa + Q 



J (x— a)-^ + b'-^ 2 J (x— a)2 + b^ '^J (x — a)^ + b"^ ' 



Das erste Integral hat die gewünschte Form, ist also 

 = |-ln[(x-a)2 + b^]. 



Das zweite Integral enthält im Zähler kein x mehr, ist also nach 



c sTo 10A (Pa + Q) , ("x— a^ 

 b. 372, 12 6 =^ — - — ^arctgl — - — J. 



Es ist also 



r(Px + Q)dx P , T/ ui Pa + Q , rx— a 



j (x-a)^ + b-3 -T^^ [(x-a)-+b-^] + ^^arctg[-^ 



3 X + 7 

 Ist also der Partialbruch z. B. = '- , so ist 



x2— 6x+ 13 



r (3x + 7)d^ _ r(3x + 7)dx _ 

 J x2— 6x+13 ~J (x— 3)2 + 22 ~" 



3 1 r^ Q^o , n , 3x3+7 . fX — 3^ 

 - b [(x-3)2 + 4] + ^ arc tg [-^J = 



|-ln(x2-6x + 13) + 8arctg(^-l} 



2 

 2 



jj 



