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Egon Eichwald und Aiidor Fodor. 



Mitunter ist es bequemer, eine etwas andere Umformung zu wählen, 

 nämlich 



dL = |/dx^ + dy^ = dy[/[— 



dy 



+ 1 



^=f<^yy^ + [W 



Wir wollen nur zwei Kurvenlängen berechnen, die der Parabel und 

 die des Kreises. Die Kurvenlänge des Kreises ist zwar aus der niederen 

 Mathematik bekannt, indessen ist es von Vorteil, auch solche relativ leichte 

 Fälle mit den Methoden der höheren Mathematik zu lösen, da hieran 

 die Prinzipien der Methode besonders übersichtlich sind. 



1. Wie groß ist die Kurvenlänge der 

 Parabel y^ = 2px zwischen dem Koordi- 

 natenanfangspunkt und dem Punkt Xi; 

 y^V (Fig. 164.) 

 Es ist 



d X V 

 2ydv=:2pdx. Also -r- = -^—. 

 •^ - ^ dy p 



Folglich ist in der Gleichung 



Fig. 164. 



=/dy|/ 



fdxv^ 



L=/dy. |/l +-p-=-i-/dy|/p-^ + y-. 



Die Lösung dieses irrationalen Integrals würde uns hier zu weit 

 führen. Sie lautet: 



P 



_^|/p^ + y^ + -Yln(y + l/p--^ + y2)]. 



Dies ist die Länge der Parabel. 



Im allgemeinen führt die Berechnung von Kurvenlängen auf schwie- 

 rigere Integrale als die Berechnung von'.Flächen, weil unter dem Integral- 

 zeichen Wurzeln auftreten. Um aber wenigstens noch an einem Beispiel 

 das Wesen der Methode zu erläutern, wollen wir den Umfang des Kreises 

 berechnen. 



2. Die Formel des Kreises lautet \^ + y^ = Y'\ Der Mittelpunkt des 

 Kreises ist dann der Anfangspunkt des Koordinatensystems. Es wird dann 



y2 = r2- 



x-^. 



y = |/r^ 



d y _ d |/r 

 dx~ 



2— x2 _ d (r2— x2) 2 d (r2— x2) _ (r2— x2) 

 dx ~ d(r2— x2) dl ~ 2 



2x 



)/r2 — x^ 



i 

 k 



