Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 



591 



5. Zum Schluß wollen wir, um die Bequemlichkeit zu zeigen, mit 

 der man mittels der Integralrechnung selbst schwierigere Fragen löst, die 

 Fläche berechnen, die von der Lemniscate gebildet wird. Die Gestalt der 

 Lemniscate zeigt Fig. 171. Ihre Gleichung, die wir hier als gegeben vor- 

 aussetzen, lautet 



r"- = a"-cos(2<p). 



Hier ist die Gleichung in Polarcoordinaten dargestellt, r ist der 

 Radiusvektor OA, © ist der Winkel, den der Radiusvektor OA mit der 

 X-Achse bildet. Die Gleichung erlaubt, für einen gegebenen Winkel «p den 

 zugehörigen Radiusvektor r zu berechnen. Für 9 = ergibt sich cos (2©) = 1 

 und r- = a^, d. h. a ist gleich OB oder OBj. Für 9 = 40« ist cos (2©) = 

 und r = 0, d. h. die Kurve geht durch den Koordinatenanfangspunkt. 



Fig. 171. 



Fig. 172. 



Wir müssen nun, bevor wir die vorliegende spezielle Aufgabe lösen, 

 erst die allgemeinere auffinden, aus der Gleichung einer Kurve in Polar- 

 koordinaten den von ihrem Radiusvektor beschriebenen Flächeninhalt 

 A B C zu berechnen (Fig. 1 72). 



Betrachten wir ein Flächenstück zwischen den beiden benachbarten 

 Punkten B und B^, so kann man BOB^ als Teil eines Kreises auffassen, 

 falls B und B^ hinreichend nahe beieinander liegen. Der Inhalt des Kreis- 

 sektors ist aber gleich -^r^ • ?, wo 9 der Zentriwinkel ist. Hier ist 9 = A©, 



so daß BOB^ = -7-r-. A9 wird. Eigentlich ist OBD = — r-A9, da wir 



das Preieck BDB^ als unendlich kleine Größe höherer Ordnung vernach- 

 lässigen können, sobald der Sektor BjOB unendlich klein, A© also gleich 

 dem Element des Winkels d9 wird. Dann wird das Flächenelement 



dF = -— r-.d© und die Fläche F zwischen den Grenzen 9^ und 93: 



'«1. 



= i/^= 



d©. 



