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Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Sobald man also r als Funktion von 9 kennt, ist es nach dieser 

 Gleichung möglich, F zu bestimmen. 

 Der Inhalt der Lemniscate. 

 Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück. 

 Es war r'- = a"- cos (2 9).^ 



Also ist F = — - / a2 cos (2 <p) d «p. 



Setzt man 2 9 = t und -d 9 = — dt, so wird 



/ cos (2 cp) d © = — / cos t . dt = — - sin t = -„- sin (2 ©). 



Folghch ist F 



a- 



sin (2 9 ) 



Wir berechnen jetzt F innerhalb des I. Quadranten (Fig. 171). Die 

 Grenzen sind hier offenbar 9 = und 9 = 45". 



Also wird 



a- 

 T 



sin (2 9) 



?, = 45« 



?i 



f( 



= — sin (90"^ — sin O« 



)-T- 



Der Inhalt der ganzen Lemniscate' ist 4mal so groß, also J = a-. 







H 



E 



Noch in einem andern Fall ist es möglich, die Berechnung einer 

 Fläche statt durch doppelte Integration durch ein einfaches Integral zu lösen, 



nämlich bei der Berechnung der 

 ^'s-i^s- Mantelfläche eines Rotations- 



körpers. 



Es sei in Fig. 173 CG die 

 Kurve y = f (x), durch deren Bota- 

 tion um die x-Achse der zu be- 

 rechnende Körper gebildet wird. 

 , Dann ist die Mantelfläche des Kegel- 

 — stumpfes ABCD gleich 

 -(AE + CF).AC. 

 Hier ist A E = y. C¥ = j+ ^\■ 

 AC = AL. 

 zJ-^^^^ AL ist die Länge des Kurven- 



_^ Stücks AC. Rücken die Punkte A 

 und C unendlich nahe aneinander, 

 so wird M(ABCD) = dM, also das Element des Mantels. Ay wird daiin 

 gleich dy und A L = d 1. 



Folglich wird d M = tc . (y + y 4- dy) . d 1 = 2 - y . d 1, unter Vernach- 

 lässigung der unendlich kleinen Größe zweiter Ordnung d 1 . dy. 

 Die Integration ergibt 



M=r 2-/ydl. 



