Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 393 



Ist y = f(x), so maß man zur Ausführung der Integration dl eben- 

 falls als Funktion von x darstellen. Wie wir bereits oben sahen, ist 



dl= [dx^ + dy^. 



Beispiel: Die rotierende Kurve sei eine Parabel: y- = 2px. 

 Dann ist M = 2 - /'y d 1 = 2 t: j [ 2 px dl. 



d 1- = d X- + dy - =1 d X- + — d X- : da 2 v d v = 2 p d x und 

 folglich dy = -^ . d x ist. Weiterhin wird 



dx 



dl = — ^ I p- + \-. Demnach wird 



y ^__ 



M = 2-/ydl = 27v/| p2 + y-i d X = 2 - / 1 p^ + 2 px .dx. 



Zur Lösung dieses Integrals, in dem jetzt nur noch x unter dem 



Integralzeichen vorkommt, setzt man [/p- + 2px = t 

 Dann ist p- - 

 Folglich wird 



Dann ist p- + 2px = t- und 2pdx = 2tdt oder dx = — .dt. 



P 



t ,. rt- ,, 1 ,„ l 



/■[/p-^ + 2px . dx = /'t . — dt = /— . dt = :f- 13 =z -^ [ (p-^ + 2px)3 



' ' p ^ p o p 5 p ' ^ ^ 



Demnach wird die Mantelfläche des Rotationsparaboloids: 

 (;p-^ + 2px)3]"= ^ [^(p^+y^)= 



^^^ = i- 



apL 



Berechnung des Volums von Rotationskörpern. 



Die Berechnung des Volums eines Körpers erfordert im allgemeinen 

 Fall eine dreifache Integration. Im Falle von Rotationskörpern jedoch, d. h. 

 solchen Körpern, die durch Rotation einer Kurve y — fix) um die x-Achse 

 entstanden sind, läßt sich die Berechnung auf eine einfache Integration 

 zurückführen. Es wird nämlich (Fig. 174) das Volum des Kegelstumpfes 



BCB,a = -^(BBi-^ + CCV).BiCi. BB^ ist aber =y; CCi = y + Ay; und 



BiCi = dx. "^ . 



Folglich BCBoC, = AV = y (y^ + (y + Ay)^) Ax. 



Geht man jetzt zur Grenze über, so wird unter Vernachlässigung 

 von unendlich kleinen Größen höherer Ordnung 



dV = ^.2y^dx. 

 Folghch V = - f\-^ dx. 



