Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 395 



In ähnlich einfacher Weise ergeben sich die Inhalte anderer Rota- 

 tionskörper, so des Rotationselhpsoides und des Paraboloides. 



Da bei diesen Körpern y^ eine rationale Funktion von x ist, so ist 

 V = x/y2dx stets ein leicht lösbares Integral. 



Daraus ergibt sich die bequemere Berechnung der Voluminhalte von 

 Rotationskörpern verglichen mit den oben dargelegten Berechnungen von 

 Kurvenlängen, Oberflächen etc. 



VI. Kapitel. 



Bestimmte Integrale. 



Wir hatten schon früher bei den geometrischen und physikalisch- 

 chemischen Anwendungen zahlreiche bestimmte Integrale berechnet. Dies 

 geschah, indem wir in die Funktion, die wir durch Integration gefunden 

 hatten, die Grenzwerte einsetzten. In einer Reihe von Fällen will man aber 

 ein bestimmtes Integral kennen, ohne daß es möglich ist, das unbestimmte 

 Integral aufzufinden ; sei es, weil die Integration nicht ausführbar ist oder 

 weil auch die zu integrierende Funktion nur näherungsweise als empirische 

 Formel bekannt ist. In diesen Fällen hilft man sich durch sogenannte 

 Näherungsmethoden, mittels deren man das bestimmte Integral inner- 

 halb der festgesetzten Grenzen berechnen kann, ohne seinen 

 algebraischen Ausdruck zu kennen. 



Bevor wir die wichtigsten der hierfür in Betracht kommenden Me- 

 thoden besprechen, wollen wir kurz noch den Fall erledigen, daß eine 

 Differentialfunktion an den Grenzen oder zwischen den Grenzen, inner- 

 halb deren sie integriert werden soll , unstetig wird , d. h. den Wert oo 

 annimmt. In solchen Fällen kann das Integral trotzdem einen endhchen 

 Wert annehmen. Praktisch ist es stets von größter Bedeutung, solche Un- 

 stetigkeitsstellen der Differentialfunktion zu beachten, da der Wert eines 

 bestimmten Integrals vollkommen falsch werden kann , wenn man über 

 solche Stellen nach den gewöhnlichen Regeln hinweg integriert. 



b 



r dx 



Wir betrachten zunächst das •Integral /- 



jyb. 



Für X = b wird [/b — x=: o und folglich f (x) = 



Für den Punkt x = b ist also die Integration nicht gültig. Trotzdem 

 hat jedoch das Integral zwischen den Grenzen b und a einen endlichen 

 Wert. Statt bis b zu integrieren, führt man die Integration bis b — ß aus, 

 wo ß behebig klein und im Grenzfall = wird. 



h—ß b 



Dann ist /f(x)dx=r/f'(x)dx. 

 [lim ß = 0] a a 



