Mathematische Behandlang biologischer Probleme. 399 



Nach 12, S. 372, ist 1 ^^ = arc tg x. 



J 1+X2 *= 



Andrerseits läßt sich in Reihen entwickeln , falls x- <[ 1 



1 + x2 ^ 



(s. S. 343). 



Es wird = (1 + x^)-^ = 1 — x^ + x* — x^ + x» . . . (nach dem 



1 + X- ^ ' V 



binomischen Lehrsatz). Daraus folgt: 



/- 



- — ^=/dx — /x2dx+ j'x^dx— /x6dx + jx8dx+ . . . + C. 



+ 

 Und weiterhin 



X3 X5 X' x9 



arctgx = x-- + ^-^ + ^...+C. 



Wenn x=:0 ist, so ist auch arctgx = 0. Also ist die Konstante C=0. 

 Demnach ergibt sich die bereits von Leibniz entwickelte Reihe: 



X3 X3 X' x9 



arc tg X = X — + — + —-... 



3 o < 9 



Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, daß sie eine bequeme Be- 

 rechnung der Zahl tc gestattet. Ist nämlich x = l, so wird arc tg l = -7^, 



d. h. der Bogen, dessen tg = 1 ist, entspricht einem Winkel von 45«. Es 

 ergibt sich also: 



^ , 7Ö ^ 1 1 1 1 



arctgl=.-=:l-- + ^-_ + -... 



In ähnlicher Weise lassen sich offenbar alle Integrale näherungsweise 

 berechnen, die nach dem binomischen Lehrsatz in Reihen entwickelbar 

 sind, immer unter der Voraussetzung, daß die vorgelegte Reihe innerhalb 

 der Integrationsgrenzen konvergent ist. 



Als Beispiel sei noch weiterhin die Integration von / an- 



J I 1 — X- 

 geführt. 



1 -i 



Es wird — (1 — x^) 2 j)ieg gji^^ j^g^^jj dem binomischen 



|/l — X2 



Lehrsatz: 



^ ' ^^ ~ 2 1 2 • 2 ■ 2! 2 ■ 2 ■ 2 3! "^ ■ ■ • 



