4.(30 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Folsrlich wird: 



fY==Ji- + ij-'-<i'^ + p-''^- + p-"^-+ ■■■ +(' 



1 1 ^ H 1 5 1 



— X-I-— -— X3 + — -— \5 + — -— \7-l- 4-C 



dx 



Da nun / ., = arc sin x (vgl. S. 372), so wird 



J^^l— X2 



18 5 



arc sin X = X + ^ x3 + -f- X'^ + — — x'? + . . . + C. 

 D 40 112 



Auch diese Entwicklung gilt selbstverständlich nur , solange die 



1 



Reihenentwicklung (1 — x"^j - konvergent ist, also für — l-<x<C + l. 



Für X = — - wird arc sin x = -^. Ist nämlich sin x = -— , so ist 



<u o ^ 



arc sin -^ der Bogen, der einem Winkel von 30° entspricht. Andrerseits 



ist der ganze Kreisbogen 360" = 2 x. Folglich entspricht dem Bogen von 



2- 7: 

 30" ein Wert von — —— = — ^. 



12 D 



Es wird also in obiger Gleichung: 



6 2^6 8 40 25 ^ 112 2^ 



Die Konstante C ergibt sich in ähnlicher Ableitung wie oben gleich 

 Null, da arc sin = ist. 



Die hier entwickelte Reihe für -^ ist stark konvergent und sehr ge- 



D 



eignet, um tt zu berechnen. 



Es ergibt sich -^= 0,5 



D 



-f 0,020833 

 + 0,002248 

 + 0,000334 



0,523415 



Also TT = 6 X 0,523415 = 3,14049. 



Dieser Wert ist bereits sehr genau (77== 3,14159). 



