Mathematische Behandlau? biologischer Probleme. 



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Als Schluß unserer Betrachtungen über bestimmte Integrale wollen 

 wir noch eine häufig benutzte praktische Regel zur Ausmittlung be- 

 stimmter Integrale erwähnen: das 

 Auswägen eines Flächenstückes. 



Um in Fig. 182 das Integral 



Fig. 182. 



Jydx zu ermitteln, schneidet man 



die Fläche AA'BB' aus und wiegt 

 sie auf einer genauen AYage. Man 

 finde 10'5234(/. Dann bestimmt 

 man das Gewicht von Inn - des 

 Papiers = 2'5342 g. Dann ist. wie 

 ohne weiteres klar ist. 



Man hat also nichts weiter zu tun. 

 als sich die Kurve y = f' (x) mög- 

 lichst genau und in möglichst großem Maßstab aufzuzeichnen. Zu achten 

 ist dabei natürlich auf die bei der Zeichnung benutzten Einheiten. Ob- 

 wohl eine größere Genauigkeit so nicht erzielt werden kann, ist das Ver- 

 fahren trotzdem in manchen Fällen sehr wohl zu verwenden. 



VII. KAPITEL. 



Mehrfache Integrale. 



Wir hatten das Integral / f'(x)dx = / ydx als die Summe von un- 

 endlich vielen, unendlich kleinen Teilen betrachtet, deren jedes gleich 

 f'(x)dx ist. Wenn nun diese Summe ebenfalls wieder unendlich klein ist, oder 

 mit anderen Worten das Differential einer zweiten Variabeln d y darstellt, so 

 läßt sich offenbar nochmals über dy integrieren. Ist / ydx = f(x) und ist 

 weiterhin f (x) = «p' (x, y ) d y, so lautet das zweite Integral 



1 ©' (x, y) d y = 9 (x, y). 



Natürlich war hier bereits f'(x) eine Funktion von x und von y, 

 d. h. von zwei Variabein abhängig. Es ist also: 



./Jf (x, y)dx . dy =/dyj'f(x, y)dx =/9'(x, y) . dy =o(x, y). 



Man nennt dies ein Doppelintegral. 



Bei der Integration von j'fix, y)dx wird y als Konstante be- 

 trachtet. Ebenfalls natürlich dy. Ebenso auch behandelt man bei der 

 Integration von /f'(x, y)dy sowohl x wie auch dx als konstant. Man 

 kann deshalb das Doppelintegral nach Belieben auflösen, indem man zuerst 



