Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 



409 



Hierbei ist nun aber folgendes noch zu beachten. Da es sich bei den 

 Anwendungen stets um bestimmte Integrale handelt, also sowohl x, und x^ 

 wie auch y, und }\ sowie die 



höheren Koordinaten Zo und z■^ ^'^' ^^''' 



festgelegt sind, so muß man bei 

 mehrfachen Integralen sehr sorg- 

 fältig auf die Festlegung der Grenzen 

 achten, da sonst große Fehler ent- 

 stehen können. Wir wollen, um dies 

 genau zu verstehen, auf die geometri- 

 sche Bedeutung des Doppelintegrals 



/ fi (x, y) d X, d y zurückgehen. Es 



sei"' in Fig. 183 A B C D Aj B, C, D, 

 ein unendlich kleines Parallelepi- 

 pedon. AB sei gleich dx und BB^ 

 gleich dy. Dann ist die Grund- 

 fläche ABAiBi=dx.dy. 



Jetzt soll A D = z = f (x, y) 

 sein , d.h. die Fläche z = f (x, y) 

 bildet die Decke des Körpers, dessen 

 Basis die x, y-Ebene ist. f (x, y) 

 variiert hier sowohl mit x wie auch 



mit y. Betrachten wir nun den unendlich schmalen Streifen ABAgBj =ydx, 

 so wird hier f (x, y) = z nur mit y variieren, da x konstant bleibt. Folglich 

 kann man dx/'f{x.y)dy bilden, als ob x konstant wäre. Dies Integral 

 stellt den unendlich schmalen Körper AB AoB^ C.2D2DC dar. Indem man 

 nun die Summe dieser Streifen längs der x-Achse bildet, also über x 

 integriert, erhält man das Volumen des Körpers, der überdeckt wird von 

 der Fläche z = f(x,yi, dessen Basis die x. y-Ebene ist und dessen Vorder- 

 und Rückseite die Flächen y = yi; y = y2 und x^Xj; x = X2 sind. 



xj ya 



Bei der zweiten Integration, also bei /dx/ f (x,y)dy ist jetzt die Be- 



achtung der Grenzen y, und }\ von Bedeutung. 



ji 

 Das Integral /fix, yidy wird aufgelöst im allgemeinen sowohl x wie 

 yi 

 y enthalten. Ist jetzt y^ und yi konstant, so enthält das zweite Integral 



J nur noch x, da man y durch seine konstanten Grenzen ersetzt hat. In 



X 



diesem Fall kann man sofort integrieren. Anders jedoch, wenn die 

 Grenzen y2 und y^ nicht konstant sind, sondern ihrerseits abhängig von x: 

 wenn also der betrachtete Körper vorne und hinten nicht durch eine Ebene, 

 sondern durch irgend eine senkrecht auf der x, y-Ebene stehende Fläche 



