410 



Egon Eichwald und Andor Fodor. 



begrenzt wird. Dann ist je nach dem Werte von x auch der Wert von ydx, 

 also der Inhalt des Streifens ABA2B2, verschieden. Ersetzt man jedoch }> 

 durch 92 (^) und }\ durch 91 fx), Ausdrücke, die sich leicht aus der Gestalt 

 der begrenzenden vorderen und hinteren Ebene bestimmen lassen, so erhält 



yj 

 man /f(x,y)dy ausgedrückt durch die einzige Variable x. Jetzt kann man 



X, jt 

 das zweite Integral /dxjf(x,y)dy bilden nach den stets geltenden Regeln. 



xj yi 



Dieses Verfahren ist stets nötig, wenn die Grenze y, und yi ihrer- 

 seits Funktionen von x sind. Wir betrachten einige Beispiele von doppelten 

 Integralen; solche, bei denen y^ und }\ konstant sind, und solche, bei 

 denen sie von x abhängig sind. 



Beispiele: 



1. Es soll die Masse eines Rechteckes bestimmt werden, wenn die 

 Bedingung gegeben ist, daß die Masse proportional dem Abstand von der 

 Grundlinie zunimmt. 1) 



Es sei OABC das Rechteck, dessen Masse gesucht wird (Fig. 184). 

 Die Basis A sei gleich a. Die Höhe C = b. sei der Anfangspunkt 



des Koordinatensystems. Dann ist die 

 *"'^- ^^*- Masseeines Flächenelementes dx.dy. 



M = u. . d x . d y. Hier ist [j. die Ein- 

 heit der Masse an dem betrachteten 

 Punkt D. Da u. proportional der Höhe y 

 sein soll, so ist 7. = 7. y. Die Konstante a 

 ist die Masse in der Höhe y = l. Setzt 

 man [j. = y. h = y. y in die obige Gleichung 

 ein, so wird das ,.Massenelement-' 



d M = a . y . d X . d y und 



M = / / X . y . d X . d y. Es wird 



Xi=0 }-,=0 

 xj^a yj=h x.j=a yj^h ^ 



/ / a . y . d X . d y = 7. _/ d x .fy . d y 



Xi=0 y,=0 x,=0 y,=o 



^ x,=0 ° 



dx. 



Hier sind 

 Es wird 



die Grenzen von y konstant und unabhängig von x. 



M = -jh^dx 



^ x,=0 



2 



, ah- 



2 



2. Wir wollen ein ähnliches Beispiel betrachten, bei dem aber die 

 Grenzen von y nicht mehr unabhängig von x sind, sondern davon in Ab- 

 hängigkeit stehen. 



*) Vgl. Xernsf, Schönßieß. Dritte Auflage. S. 168. 



