Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 



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Es soll die Masse einer Kreisfläche berechnet werden unter der 

 Voraussetzung, daß die Masse proportional mit dem Abstand von einem 

 Durchmesser zunimmt. 



Der Durchmesser werde zur x-Achse des Koordinatensystems gemacht. 

 Dann ist wieder die Masse des Flächenelementes dx.dy 



d M = «;- . d X . d y. 



Auch hier soll sein p. = a . y, wo a die Masse im Abstand y = 1 von 

 dem Durchmesser OB ist. 

 Es wird also 



M = ffy. . y . d X . d y. 



Hier ist jetzt aber y^ und yi abhängig von x. 

 Es ist x2 + y2=ia- oder y^ = Bi'^~xK 



jj wird stets gleich 0. j^ berechnet sich nach der angegebenen 

 Gleichung. Jetzt wird 



M=: 



^,/dx yA =_/(a^-x2jdx = 



i^ X, L -lo ^ ^1 



Betrachtet man nur den I. Quadranten, so wird Xi=:o; x, = a 

 Folglich 



a.a3 



= ^r- a^ — 



Oder M = — -a.a». 

 o 



Hätte man weiter integriert, ohne die Abhängigkeit der Grenzen 

 y2 von X zu beachten, so hätte man erhalten: 



M 





Der äußerste Wert von y^ ist offenbar (Fig. 185) y2=:0F = a. 

 Xg ist ebenfalls gleich a. Also wäre 



M y 



-— = -— .a3 und M = 2a.a3 

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ein gänzlich falsches Resultat. 



An der Hand der Figur ist es nicht schwer, sich über den gemachten 

 Fehler klar zu werden. 



Wie bei den einfachen Integralen, so ist es auch bei der Lösung 

 mehrfacher Integrale häufig von Vorteil, durch Substitution neue Ver- 

 änderliche einzuführen und dadurch das Integral auf eine bequemere Form 

 zu reduzieren. Aber während bei den einfachen Integralen diese Substitution 



