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Egon Eichwald und Andor Fodor. 



sich sehr leicht bewerkstelligen ließ, muß hier die sogenannte „Funktional- 

 determinante" beachtet werden. Auch müssen die neuen Grenzen 



Fig. 186. 



Fig. 185. 



richtig gewählt werden. Wir wollen zunächst zusehen, um was es sich bei 

 der Funktionaldeterminante handelt. 



b </-2(x) 



Wenn das Doppelintegral //f (x, y) d y . d X gelöst werden soll, wo die 



a (/), (X) 



Grenzen für y von x abhängig sind und gleich 92 (^) und 9, (x), so laute 

 die Substitution: 



x = fj(u,v) und y = f2 (u,v). 



u und V sind jetzt die neuen Veränderlichen. 



Wir betrachten das Doppelintegral als Volum eines Körpers, der 

 oben von der Fläche z = f(x,y) begrenzt wird. Die Basis ist die XY-Ebene 

 und das Element dieser Fläche ist gleich dy dx (Fig. 186). Durch die an- 

 gegebene Substitution wird 



z = f(x,y) = f[fi(u,v), f2(u,v)]. 



Betreffs f (x, y) bietet die Substitution also keine Schwierigkeiten, 

 wohl aber wegen der Berechnung des neuen Flächenelementes. Dieses ist 

 keineswegs ein Rechteck, also nicht gleich d u d v, sondern muß als Vier- 

 eck A Ai A2 A3 berechnet werden , wo A A^ und A2 A3 zum System der 

 v-Koordinaten , A A, und A^ A3 zum System der u-Koordinaten gehören. 



Die Koordinaten des Vierecks AA^AgA, sind bekannt. Sie lauten: 



Für A: u und v. 

 Für Ai : u + du und v. 

 Für Ag : u und v + dv. 

 Für A3 : u + du und v -t- dv. 



Sind nun diese Koordinaten in dem alten System x, y gegeben, so 

 läßt sich ohne Mühe der Inhalt I des Viereckes AA1A2A3 berechnen. 

 Offenbar sind diese Koordinaten: 



