Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 



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Für A: x und y i^ij) 



Für A,: x H — — du und y H — — . du (d. h. x ändert sich um — du) (x, y,) 

 ^ au "^ 3u ^ au -^ ^ -^^ 



Für Ao : X -I — . dv und y H — — . dv (x, y») 



^ av -^ av \ i j-/ 



Für A, : X + — dv H — ^du und v + — • dv H — — . du . . . . (x. v.) 



" av au " av au v s .sy 



Sind die bezüglichen Koordinaten A(x; y) Ai(Xi; y^) Ag (Xg; yg) und 

 AsCxjjya), so wird nach der Formelsammlung: 



AAiA, As = I = Y [x(yi— ya) + xi (ys— y) + X3(y2— yi) + XsCy— y^)] 

 Als Determinante geschrieben, ergibt dies: 



21 = 



X3 — X, Xs— Xi 



Ja— y, 72— yi 



_ . , , ax , ax , ax , ax , 



Es ist aber x, — x = xH dvH .du — x =-^ dv + -— - du. 



av au av au 



Ersetzt man ebenso die anderen Ausdrücke der Determinante, so 

 ergibt sich: 



Kolonne I Kolonne II 



2J = 



ax , ax - ax , ax , 



— du -\ dv, dv du 



au av av au 



ay j , 9y - ay - ^v , 



— ^ du H dv, —^ dv — . du 



au av av au 



Subtrahiert man Kolonne II von Kolonne I, so wird 



ax 



21 



,^ 9x ax , 

 2 — du, — dv 



au ' av 



au 



du 



2^1 du, ^dv-^. du 

 au av au 



ax , ax , ax , 



— du, — dv r- du 



au av du 



—du, -r-dv ^du 



au dv au 



1= 



Jetzt addiert man Kolonne I zu Kolonne IL Es wird : 



ax ay 



ax -, ax - 

 — du, — dv 

 au ' av 



au ' av 



=dudvr^.iL_^.iLi 



L au av av au > 



Dies ist das neue Flächenelement. Es ist := du . dv multipliziert mit 



ax ay ax dy 

 au av av 9u ' 



j T^ w 1 j .L • ^ 3x ay ax dy 

 der Funktionaldeterminante —- 



