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Ecfon Eichwald und Andor Fodor. 



Es wird also schließlich 



b 92 (x) df /-aa ar^^ 



//nx,y)dydx =./:/f [f. (u,v), t Kv,] [^. ^^^.^],n. dv. 



Die Grenzen c, d, e und f sind passend zu bestimmen. 

 Wir wählen sofort ein Beispiel: 



Es soll die Masse eines Kreises vom Radius a berechnet werden, 

 unter der Voraussetzung, daß die Masse proportional dem Abstand vom 

 Mittelpunkt zunimmt. 



Es ist in Fig. 187 die Masse 

 des Flächenelementes gleich [/. dx . dy. 

 Es soll aber sein ;;. = ar, wo a die 

 Masse im Abstand 1 vom Zentrum 

 des Kreises ist, der zugleich Mittel- 

 punkt des Koordinatensystems ist. 

 Es ist folglich: 



d M = ar . dx . dy. 



Nun ist r- = x^ + y^. Folglich: 



Fig. 187. 



dM = 

 M 



7. [/x- + y- . dx . dy und 

 = ^-/J|/x2 + y'^dx.dy. 



In diesem Doppelintegral sind 

 die Grenzen von y abhängig von x ; 

 und die Lösung gestaltet sich ziem- 

 lich schwierig. Sie wird jedoch 

 leicht, wenn man Polarkoordinaten 

 einführt durch die Substitution (vgl. Formelsammlung) : 



Es wird M = a ff [/r^ cos^ cp + r^ sin^ cp . 



rcoscp; y = rsmcp. 



9x 



9? 



9cp 



9x 

 9'p 



9y 



dr . d<p. 



Jetzt ist: 



9x 



_9y_ 



dr 



= cos (p. 



r= sin cp. 



-^— = r cos 9 



9x 



9a 



= — r sm <p. 



Die Funktionaldeterminante wird also: 



r cos' 9 + r sin^ cp = r (sin2(p -f- cos" cp) = r. 



9x 



iL 

 9r 



9y 9x 



9<p 9(p 



Also M = aj}'|/r2(sin2(p + cos-9). r dr . do = a./Jr^ • dr . d©. 

 Hier sind die Grenzen von r unabhängig von <p. Sie lauten r = a 

 und r=:o. 



