Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 415 



2 a3 . ax 



Also M = afd9/r2.dr= Y / d^. t^''^ = ~' /dcp = 



3 



Die Erleichterung in der Lösung des Doppelintegrals ist hier ganz 

 augenscheinlich. 



Ein wichtiges Integral, das besonders in der Wahrscheinlichkeits- 

 rechnung von Bedeutung ist, und dessen wir später bedürfen, ist das be- 

 stimmte Integral 



+ 00 



/e— Mx = ? 



o 



Man löst es durch einen Kunstgriff, indem man die Grenzen co 

 zunächst durch die endliche Grenze a ersetzt und das Integral mit einem 



b 



ähnlichen Integral multipliziert, nämlich" mit _/ e^y'dy: Es wird 



o 



-\-a, -|-b ab 



/e— ^ dx . ./ e-y'dy =J J e- ^-^+> '^ dx dy. 



"o o 



Dies ist das Doppelintegral von e— <^'+y'* über ein Rechteck mit den 

 Grenzen Xi = o; x.2 = a und yi = o; y2 = b. 



-|-a +00 



Bezeichnet man / e~^' dx für Kma = oc, alsoJe~^'dx mit I, so wird, 



o o 



+b 



da auch je-y'dy für lim b = oo den Wert I erhält: 



o 



a b 



//e-('^^+y'Mx.dy = l2. 



o o 



lim' a = oo 

 lim b = oo 



Dieses Doppelintegral ist aber leicht durch Polarkoordinaten zu lösen. 



lim r^ oo — 

 2 



Es wird l- = ff q-^'. r dr . do. 



o o 



(Da für a = oo ; b = oo das Doppehntegral den ganzen I. Quadranten 



umfaßt, d. h. ri = o; ro^hmoo; Oi=o; ©.^ = -^ ist. r ist der Wert der 



Funktionaldeterminante (vgl. S. 413). 



Jetzt integriert man zunächst über «p. Es wird: 



r^ = 



2 I Q-^- .r dr ■=-^ e—'^' . r dr. 



Um das noch vorhandene Integral zu lösen, setzt man r2 = x. 

 Also 2 r dr = dx und e~ "^^ r dr =r-^ e"^ . dx. 



