Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 41 7 



Die Auflösung selbst geschieht in folgender Weise: 



Es sei d f (x, y) = fj . d X + i^ . dy. 



Dann bildet man zunächst f (x, y) =J fj d x + Y = a+ Y. Dieser Aus- 

 druck wird gebildet, indem man in dem Ausdruck fi den Wert von y als 

 konstant ansieht. Der Wert von Y, der hier die Konstante vertritt, ist 

 natürlich nur in bezug auf x konstant, braucht es jedoch nicht in bezug auf y 



x^ , , •, , A- , 1 T . . 1 •, 1 . 9 f (x, y) 3 a 3 Y 

 zu sein. Es bleibt i zu berechnen. Jetzt bildet man — ^ — —=: 1 . 



9y 9 y 9 y 



Dieser Ausdruck muß auf Grund des vorgelegten totalen Differentials gleich 



9_ax^^ sein. Also wird: — + — = f „ folglich 9 Y := ff , - — W y 



dy - 9y 9y -' *= \ ' 9y/ -^ 



Folglich f (X, y ) =JX . dx + j (f^ - ^ ) d y + C. 



Hier ist a = j f i . d x. 



Wir wollen diese Formel an der Hand einiger Beispiele erläutern 

 und bestätigen. 

 Beispiele: 



1. Es soll f(x, y) bestimmt werden, wenn df (x, y) = (2x + 2y)dx + 

 (3x+ 2y)dy ist. 



Zuerst muß untersucht werden, ob der Ausdruck 

 (2 x + 2 y) d x + (5 x + 2 y) dy = fi d x + f., dy in der Tat ein totales Diffe- 

 rential ist. Es muß sein: 



Ü = Ü'; also a(2x+_2j0^e(ax + 2y)^ Die Differentiation ergibt 2=3. 

 9ydx 9y 9x 



Also ist die notwendige Bedingung nicht erfüllt, und die 

 Aufgabe ist nicht lösbar, da der vorgelegte Ausdruck kein totales Diffe- 

 rential darstellt. 



2. Es soll f (x, y) bestimmt werden, wenn 



df (X, y) = (2 X + 3 y) d x + (3 X + 2 y) d y ist. 



Hierist^ = '?i^i±iÖ=3. 



9y 9 y 



9f2 9^3x4 2y) _ 

 T~ = ; — ^• 



9x 9 X 



Die notwendige Bedingung ist also erfüllt, und es existiert eine 

 Funktion f(x, y), deren totales Differential lautet: 



(2x + 3y)dx + (3x-f 2y)dy = f^ dx + f^ dy. 

 Zur Auffindung dieser Funktion bilden wir 



a=/fi dx=/(2x + 3y) dx=:x2 + 3x.y. 



9 a 

 Weiterhin bildet man f, =r3x + 2y — 3x=:2y. 



9 y 



Abderhalden, Handbuch der biochemischen Arbeitsmethoden. IX. 27 



