418 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Es wird also jii^ — i^") d y = /2 y dy = y^ + C. 



Folglich ist f (x, y) = x'- + 3 x . y + y^ + C. 

 In der Tat ist 



8(x2 + 3xy+y-) 



3x 

 9(x2 + 3xy + y2) 



2x + 3y=rfi; und 

 = 3x + 2y = f2. 



3y 



3. Es soll f(x,y) gesucht werden, wenn 



df (x,y) = (5x*y + y»)dx + (x^ + 5xy*)dy ist. 



Hier ist fj = 5x *y -t- y^; fg = x^ + 5xy*. 



6fi , . 9f> . 



— i = o X* + o V* ; — ^ = 5 X* 4- o V*. 



9 y " 9 X 



1 f f) f 

 Also ist — - = — - und es existiert eine Funktion f (x, y), deren totales 



9y 9 x 



Differential der vorgelegte Ausdruck ist. 



Jetzt wird 



Si= j ii dx = j'(5x*y + y^jdx = x »y + y^x. 



9 a 

 Weiterhin wird — = x^ + 5 x y*, so daß 



9y 



f, = x5 + 5 X y* — x& — 5 X y* = ist. 



9y 



Also J(f2-^)dy = und 



f(x,y) = x5y + x.y5 + C. 

 In der Tat ist 



9(x-n' + xy5) 



9x 



= 5x*y + y5; und 



9 x»y + x\^) . , , ^ 

 — — ^ — = X » + 5 X y *. 



In der gleichen Weise lassen sich auch kompliziertere Aufgaben be- 

 handeln. 



VIII. KAPITEL. 



Differentialgleichungen. 



Das wichtigste und zugleich auch schwierigste Gebiet der höheren 

 Analysis ist die Lösung von Differentialgleichungen. Jedes naturwissen- 

 schaftliche Problem, das mit den Hilfsmitteln der Infinitesimalrechnung 

 behandelt wird, führt zunächst zu einer Differentialgleichung, die allerdings 

 häufig durch einfache oder mehrfache Integration nach den oben behan- 

 delten Methoden, meistens jedoch nur auf komphzierterem Wege lösbar ist. 



