Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 419 



d V 

 Es ist z. B. beim freien Fall -r- = g, wo g die Beschleunigung durch 



die Schwerkraft und v die Geschwindigkeit zur Zeit t ist. 



dv 



-r— = g oder dv = gdt ist ein besonders einfacher Fall einer Diffe- 



dt 



rentialgleichung , d.h. einer Gleichung, in welcher sowohl die abhängige 

 Variable v wie auch die unabhängige Variable t als Differentiale vor- 

 kommen. Natürlich kommen beide Variablen meistens auch in endlicher 

 Form vor, z. B. in der Gleichung 



X . y . d X = dy. 



Ist nun eine solche Differentialgleichung für irgend ein Problem aufge- 

 stellt, so \n\l man die Beziehung von x und y in endlicher Form aus 

 der Differentialgleichung erhalten, d. h. man sucht y == f (x). Dieser Wert 

 von y muß dann die Differentialgleichung, aus der er berechnet ist, be- 

 friedigen. 



Eine auch nur oberflächliche Darlegung der Theorie der Differential- 

 gleichungen ist hier gänzlich unmöglich. Es sind dazu vor allem funktionen- 

 theoretische Kenntnisse notwendig, die wir hier nicht voraussetzen wollen. 

 Indessen gibt es eine Reihe von einfacheren Fällen, in denen es gelingt, 

 die Differentialgleichung durch sogenannte Quadratur, d. h. durch die 

 Ausführung einer Integration zu lösen. Bevor wir diese Fälle besprechen, 

 wollen wir uns kurz über die Klassen unterrichten, in die sich die Diffe- 

 rentialgleichungen einteilen lassen. 



Zunächst unterscheidet man die Differentialgleichungen auf Grund 



der Zahl der unabhängigen Variablen. Ist die gesuchte IntegraKunktion y 



nur von einer Variablen x abhängig, so hat man eine gewöhnliche 



Differentialgleichung. Ist y aber eine Funktion mehrerer Variablen, so 



enthält die Differentialgleichung partielle Differentialquotienten von y nach 



den unabhängigen Variablen und die Gleichung wird eine partielle 



Differentialgleichung. 



dv 



-^=rax + by ist also eine gewöhnliche Differentialgleichung; 



9y dv 



--^ = a-^ dagegen eine partielle Differentialgleichung, 



und ist y als Funktion von x und t zu bestimmen. 



Da die Theorie der partiellen Differentialgleichungen noch erheblich 

 schwieriger ist als die der gewöhnlichen Differentialgleichungen, so be- 

 schränken wir uns hier auf letztere. 



Man unterscheidet nun weiterhin nach sogenannten Ordnungen. Die 

 Ordnungszahl einer vorgelegten Differentialgleichung wird bestimmt als die 

 Ordnung des höchsten in der Gleichung vorkommenden Differentials oder 

 Differentialquotienten. Eine Gleichung erster Ordnung ist also z. B. 



a^ + by'-F-xy + c = o. 



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