420 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Ebenfalls erster Ordnung ist 



X . dy + 8 dx + X . y . dx = 0. 

 Dagegen ist die Gleichung 



a.-^ + a,x + by = o 



von der zweiten Ordnung. 



Auch x— ^ + y-^+ax2 + by + c=:ro ist eine Differentialgleichung 

 dx'^ *^ dx 



zweiter Ordnung. 



Die Form einer Differentialgleichung n*" Ordnung ist nach dem 

 Mitgeteilten unschwer zu ermitteln. Noch eine andere mit den bisherigen 

 Einteilungen sich kreuzende Gruppierung der Differentialgleichungen ist 

 von praktischer Bedeutung. Zunächst ist selbstverständlich, daß im all- 

 gemeinen die Differentialgleichungen erster Ordnung am leichtesten inte- 

 grierbar sind. Unter diesen Gleichungen sind dann wieder jene Gleichungen 



dv 

 am einfachsten zu lösen, die -r^ sowie v nur in der ersten oder nullten 



dx 



Potenz enthalten, also die Gleichung 



dv 



?i (x)-^ + ?2 (x) y + <P3 (x) = 0. 



Man nennt dies eine lineare Differentialgleichung erster 

 Ordnung. Allgemein bezeichnet man eine Differentialgleichung als hnear, 

 wenn siej y sowie die Abteilungen von y nach x nur in der höchstens 

 ersten Potenz enthalten. Eine lineare Gleichung zweiter Ordnung 

 hat also die Form: 



d'v dv 



?1 i^)-^ + ?2 (X)-^ + ?3 (X)y + ?4 (x) = 0. 



?i(x), ?-2(x), 93 (x) und 94 (x) heißen die Koeffizienten dieser Gleichung 

 und sind bei der linearen Gleichung nur von x abhängig, dagegen unab- 

 hängig vom y. Besonders leicht lösbar werden die Differentialgleichungen 

 endüch in dem Falle, daß sie homogen sind. 



Eine Differentialgleichung ist dann homogen, wenn sie in bezug auf 

 y und seine Ableitungen nur Glieder vom gleichen Grade enthält. Es 

 verschwindet also bei deji linearen Gleichungen das Glied, das weder 

 y noch eine seiner Ableitungen enthält, so daß die Differentialgleichung 

 erster Ordnung, die homogen linear ist, lautet: 



9i(x)^ + 9'(x)y = 0. 



Die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung hat 

 die Form: 



Wir wenden uns jetzt zunächst den Gleichungen erster Ordnung zu. 



