Mathematische Behandlung biologisclier Probleme. 423 



Die Trennung der Variabein in der oben betrachteten Gleichung 



dy _ M (X. y) 

 d^~~ N(x,y) 



ist im allgemeinen nicht möglich. 



Wenn aber M (x, y) und N(x, y) homogene Funktionen des 

 gleichen Grades sind, d. h. in bezug auf x und y nur Glieder von 

 gleichem Grade enthalten, so läßt sich die Trennung der Variabein durch- 

 führen, indem man statt y den Ausdruck x.z substituiert. 



Es sei z. B. die folgende Gleichung zu integrieren: 



4. (x + y) dx + (y — x) dy = 0. 



Hier ist ^ = -i+i. 

 dx y — X 



y-|-x = M(x,y) ist homogen vom 1. Grad. Ebenso ist y — -x = N(x,y) 

 homogen vom 1. Grad. 



Wir setzen jetzt y = x.z. Dann wird: 



dy = xdz + zdx. Folglich 



xdz + zdx y + x x + xz ^, 



5 = — = . Oder: 



dx y — X X z — X 



dz 1 + z T X . • 1 



X -; — h z = -•. Jetzt wird 



dx z — 1 



1 +'Z 



X . dz + z dx H . dx = 0. Und 



z — 1 



Z2 — z + l+z 



x . dz H ; dx = 0, 



z — 1 



Trennt man jetzt die Variabein, so erhält man: 

 (z — Ijdz dx^ 



Z2+ 1 X 



^ r(z — l)dz r zdz r dz 1 , / , .- 



so wird In X -t- -^ In (1 + z2) — arc tg z = In C oder 



, X . 1/ 1 + Z2 ^ , 1 , /. X , 1 r. 1 X 1/ 1 + Z2 . , 



In — ^-—^ = arctgz, da -;— Infi -l-z"-)-f Inx — InC — In — ^—^ ist. 



Setzt man jetzt statt z wieder -^— ein, da ja y = xz, so wrd 

 schUeßlich 



