^24 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



.[/^ 



In — — - — '— = arc ig [-^— ] oder 



Dies ist die Lösung der Gleichung 4. 



Diese Substitution y=:xz führt stets zur Trennung der Variabein, 

 vorausgesetzt, daß M(x, y) und N(x, y) homogene Funktionen des gleichen 

 Grades sind. Es ergibt sich nämlich aus 



-V^ = — ..,-''", stets für 

 dx N(x,y) 



-V- der Ausdruck x . -5 — \- z der Gleichung a). 

 dx dx 



Ferner wird nach der Substitution y = xz die rechte Seite stets im 

 Zähler und Nenner homogen von gleichem Grade in bezug auf x sein, 

 so daß sich die x herausheben und eine Funktion f(z) nur von z übrig- 

 bleibt. Es wird also 



dz 



X . -5- + z = + f (z). Oder 

 dx 



xdz = f f(z) — zjdx und 

 dz _ dx 



f(z) — z ~' x * 



Hier sind die Variabein getrennt und es ergibt sich, wie oben, eine 



V 



Integralgleichnung für z, die durch die Substitution z = -^^ in eine Integral- 

 gleichung für y umgewandelt wird. 



Wir lösen noch eine Gleichung, in der M (x, y) und N (x, y) homogen 

 vom zweiten Grade sind. 



5. Es soll 



(2 x2 — y 2) dx + X y dy = 

 integriert werden. 



Man setzt y = xz und erhält: 



(2x2 — x2z2)dx + x2z(xdz + zdx) = 0. 



Diese Gleichung läßt sich durch \- dividieren. Es wird: 



(2 — z2-l-z2) dx + xzdz = 0. 



Indem man durch x dividiert, erzielt man eine Trennung der 



Variabein: 



2dx 

 — - — hzdz = 0. Dies ergibt integriert: 



