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Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 425 



1 y 



21nx + — -z- = 21nC oder, da z = ^^ ist: 



Dies ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. 



Die komplette lineare Differentialgleichung erster Ordnung. 



Wir sahen oben, daß die homogene lineare Differentialgleichung 

 erster Ordnung stets durch Trennung der Variablen lösbar ist. Ist auch 

 ein Faktor mit y" vorhanden, so heißt die Gleichung komplett. Sie lautet: 



dy 



-j- + ©1 (x) y + ^2 (x) = 0, wo 9i(x) und ©2 (x) unabhängig von y sind. 



Es gibt mehrere Methoden, um diese Gleichung aufzulösen. 

 Wir betrachten zunächst die Auflösung mit Hilfe des sogenannten 

 integrierenden Faktors. 



Dazu schreiben wir die Gleichung in der Form: 



dy + [?i(x).y + ?2(x)]dx = o. 



Wir hatten nun früher (vgl. S. 316) gesehen, daß eine Funktion 

 M (x, y) . dx + N ( x, y) dy = ein totales Differential du darstellt , falls 



= "• • ist. Dann läßt sich aus du = die Funktion u = Kon- 



6y ax 



staute bestimmen, u ist dann abhängig von y und x, mit anderen W' orten, 

 es ist eine Gleichung zwischen den endhchen Werten x und y auf gründen. 



Es ist aber die Gleichung 1 im allgemeinen kein totales Differential, 

 da die Bedingung 



aM(x,y)_ 9N(x,y) 

 dy ^ dx 

 nicht erfüllt ist. 



Es läßt sich aber eine Funktion y (x) finden , mit der man die 

 Gleichung 1 multipliziert und sie dadurch in ein totales Differential ver- 

 wandelt. Diese Funktion y (x) nennt man den integrierenden Faktor, 

 da die Gleichung 1 durch seine Anwendung in ein totales Differential ver- 

 wandelt wird und sich infolgedessen eine Funktion f (x, y) = C bestimmen 

 läßt, die eine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung darstellt und 

 aus der sich ohne Mühe y = o(x) berechnen läßt. 



Wir suchen zunächst den integrierenden I'aktor <I/(x). 



Der besseren Übersicht wegen bezeichnen wir 91 (x) mit — ai und 

 'p2(x) mit — ao- Dann lautet die Gleichung 1: 



dv 



-p 3= ai y + ao oder 



dy — (ai y -I- ao) dx = 0. 



