Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 43 X 



Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung. 



Wir haben im vorhergehenden betrachtet, wie man die linearen 

 Differentialgleichungen erster Ordnung zu lösen vermag. Nicht lineare 

 Differentialgleichungen erster Ordnung, sowie Differentialgleichungen 

 zweiter und höherer Ordnung sind im allgemeinen durch Quadraturen 

 nicht mehr lösbar. 



Um wenigstens kurz eine Vorstellung davon zu geben, wie man bei 

 der Lösung solcher Differentialgleichungen verfährt, wollen wir erwähnen, 

 daß man in diesen komplizierten Fällen y in der Umgebung eines Punktes 

 a nach steigenden Potenzen von x — a in eine Reihe entwickelt. Sobald es 

 dann geUngt, für diese Reihe den Konvergenzbeweis zu erbringen, stellt 

 die ermittelte Reihe eine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung dar. 

 Es liegt in der Natur der Sache, daß hierzu häufig schwierige funktionen- 

 theoretische Untersuchungen erforderhch sind. 



Eine ganze Reihe von speziellen Fällen sind allerdings auch bei 

 den Gleichungen höheren Grades noch durch Quadraturen lösbar. Wir be- 

 trachten nur noch folgende beide Fälle, nämlich die Gleichungen zweiter 

 Ordnung: 



i^ = f(x);undi^ = f(y). 



Also der zweite Differentialquotient eine P'unktion nur von x oder 

 eine Funktion nur von y. 



Dieser Fall erledigt sich leicht durch doppelte Integration. 



Es wird, da -^'^ ^ ist: df-^l = f (x)dx. 



dx" dx \.(\x J ^ '^ 



Also -^ =fi (x) cLx + Gl = 9i (x) -{-C,. 

 Durch nochmalige Integration folgt dann : 



y-/:üi(x)dx + CiX + C,. 



Wie man sieht, enthält die Lösung der Differentialgleichung zweiter 

 Ordnung zwei willkürliche Konstanten Ci und Cg. Dies ist allgemein der 

 Fall bei allen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 



d^v 



2. ^ = f(y). 



Dieser Fall läßt sich auf folgende Art erledigen: 



dv ,. . ,u ^_^ d'y _ d(zr) _ dp 



Man bezeichne -T^=p, und erhält dann 



dx ' dx* dx dx 



Folglich ist: ■-T^=:f(y) oder dp=:f(y)dx. 



