Mathematische BehandluDg biologischer Probleme. 433 



IX. KAPITEL. 



Die Kombinatorikj Wahrscheinlichkeits- und 

 Ausgleichungsrechnung. 



Diese drei mathematischen Spezialgebiete liängen untereinander eng 

 zusammen. Die Lehre von den kombinatorischen Operationen ist eine Vor- 

 bedingung für das Studium der Wahrscheinlichkeitsrechnung und diese 

 wieder ist notwendig für die naturwissenschaftlich so wichtige Ausgleichungs- 

 rechnung. Indessen gewinnen sowohl die Kombinatorik wie auch die Wahr- 

 scheinlichkeitsrechnung, abgesehen von ihrem mathematischen Interesse, 

 allmählich auch eine steigende Anwendung in den Naturwissenschaften: 

 Die Kombinatorik z. B. in der Vererbungslehre und Statistik, die Wahr- 

 scheinlichkeitsrechnung in bestimmten Teilen der Physik z. B. beim zweiten 

 Wärmesatz und anderswo. 



Wir wollen hier diese mathematischen Disziplinen hauptsächlich mit 

 Rücksicht auf die Ausgleichungsrechnung behandeln und beginnen mit 

 den kombinatorischen Operationen. 



Die Kombinationslehre. 



Man unterscheidet drei verschiedene Arten, gegebene Elemente mit- 

 einander zu kombinieren, nämlich die Permutation, die Variation und 

 die Kombination im engeren Sinne. Es seien z. B. die Elemente a, b, c 

 gegeben. Dann permutiert man diese Elemente, indem man sie in allen 

 denkbaren Anordnungen zusammenstellt, aber so, daß die Zahl der permu- 

 tierten Elemente stets dieselbe bleibt, mit anderen Worten: in jeder 

 Permutation müssen stets alle Elemente vorhanden sein. 



Die Permutationen von a, b, c sind also: 



abc bac cab 



a c b b c a c b a. (Permutationen von a, b, c.) 



Die Anzahl der Permutationen bezeichnet man mit P(n). Demgegen- 

 über sind bei den Variationen nicht alle Elemente in jeder Varia- 

 tion vertreten, sondern nui' eine bestimmte, für jede Variation fest- 

 zusetzende Anzahl. Sind z. B. n Elemente vorhanden, und sollen in jeder 

 Variation nur p Elemente vorkommen, so nennt man dies: n Elemente zui- 

 pten Klasse variieren, und zwar ohne Wiederholung, wenn in jedem 

 Komplex jedes Element nicht öfter als einmal vorkommen darf. 



Sollen also z. B. drei Elemente a, b, c zur 2 ten Klasse variiert werden 

 ohne Wiederholung, so ergeben sich folgende Variationen: 



ab b a c a (Variationen von a, b, c zur 2 ten Klasse 



a c b c c b ^ ohne Wiederholung). 



Man hat für die Anzahl der Variationen die Bezeichnung Vp(n) 

 d. h. Vp(n) ist die Anzahl der Variationen von n Elementen zur pten 

 Klasse ohne Wiederholung. 



Abderhalden, Handbuch der biochemischen Arbeitsmethoden. IX. 28 



