434 Effou Eichwald und Andor Fodor. 



Bei den Variationen unterscheiden sieh die einzelnen Komplexe teil- 

 weise nur durch die Anordnung der Elemente von einander, z. B. a b und 

 b a. b a ist eine Permutation von a b. Betrachtet man Komplexe, die 

 durch Permutation auseinander entstehen, als gleich, so entstehen aus den 

 Variationen die Kombinationen: 



n Elemente zur pten Klasse ohne ^Viederholung kombinieren heißt 

 also, je p der n Elemente zusammenstellen, ohne daß Komplexe auftreten, 

 die Permutationen von einander sind, und ohne daß ein Komplex das 

 gleiche Element mehr als einmal enthält. Kombinationen von a, b, c zur 

 •2 ten Klasse sind also : 



ab b c (Kombinationen von a, b, c zur 2 ten Klasse ohne 



a c Wiederholung). 



Man bezeichnet die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur 

 pten Klasse mit Kp(n). 



Unsere nächste Aufgabe wird jetzt sein, die Permutations-. Variations- 

 und Kombinationszahlen zu berechnen, sowie einige damit im Zusammen- 

 hang stehende wichtigere Aufgaben zu erledigen. 



Die Permutationen. 



Es soll berechnet werden, wieviel Permutationen von n von einander 

 verschiedenen Elementen möglich sind. P (n) = ? 



Offenbar ist P(2) = 2; denn von zwei Elementen a b existieren 

 nur die Permutationen a b und b a. Es komme jetzt ein otes Element c 

 hinzu. Dieses 3te Element kann an erster, zweiter oder dritter Stelle 

 stehen. Jedesmal sind für die beiden anderen Elemente P(2j = 2 Permu- 

 tationen möglich, so daß P(3) = 3P(2) wird. 



Kommt ein 4tes Element hinzu , so kann dies an 4 Stellen stehen 

 und bei jeder Stelle ergeben sich P(3) Permutationen der übrigen Ele- 

 mente. 



Also P(4) = 4P(3). 



Ebenso wird P(5) = 5P(4). Und 

 P(n) = nP(n — 1). 



Es ist also P (1) = 1. = 1 ! 



P (2) = 1 X 2. = 2 ! 



Pi3) = 1.2x3 =3! 



P(4) = 1.2.3x4 =4! 



P (n) = 1 . 2 . 3 . . . . ( n — 1 ) X n = n ! 



Hierbei nennt man n I in Worten ..n Fakultät". 

 Es bedeutet das Produkt bestehend aus allen n ganzen positiven 

 Zahlen. 



Es ist foklieh die Zahl der Permutationen von n Elementen ^nl 



