Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 435 



Beispiel: Es soll berechnet werden, auf wieviel verschiedene Arten 

 sich 7 verschiedene Elemente anordnen lassen. 



Die Lösung lautet : Auf 7 ! Arten, also auf 5040 Arten. 



Bei 10 Elementen erhält man bereits 3,628.800 Arten. 



Es fragt sich jetzt, wie groß die Zahl der Permutationen ist, wenn 

 unter den n Elementen gleichartige Elemente vorhanden sind. Die Zahl 

 der Permutationen ist dann natürlich geringer. 



Um sie zu berechnen, betrachten wir die 4 Elemente a^ a., b c. 



Diese haben 41 Permutationen. Wenn aber aj = a., ist, so wird z. B. 

 a^a, bc identisch mit aL^Hihc. Zu jeder Permutation von ajaobc existiert 

 augenscheinlich eine andere, bei der ai und r., vertauscht stehen und die 

 durch Gleichsetzen von a^ und a, identisch werden. Die Zahl der Permu- 

 tationen von aabc ist demnach halb so groß als die von a^aobc, also 



4! 

 gleich y. 



Sind von n Elementen a Elemente identisch, so kann man in ähn- 

 hcher Weise die Zahl der Permutationen berechnen. Bezeichnet man die 

 a Elemente wieder mit Indices, so ergeben sich al Permutationen von 

 a^ a, . . . aa. Je a ! Permutationen werden also identisch, sobald 

 a^ =: a2 = . . . = aa wird. 



Es ist also die Gesamtzahl der Permutationen von n Elementen^ 

 unter denen a identisch sind: 



P(n) = l:. 

 a! 



Ebenso ergibt sich, falls mehrere Arten von identischen Elementen 

 existieren, die Zahl der Permutationeu von n Elementen, unter denen 

 a Elemente der einen Art, b der anderen, c einer dritten Art iden- 

 tisch sind: 



Beispiel: Wie viel Komplexe lassen sich bilden aus den Elementen 

 a a a b c c c : 



Es ist n = 7. a kommt 3mal, c ebenfalls 3mal vor. 

 7 ' 1-^34567 



Ohne Wiederholung hätten sich aus 7 Elementen 5040 Komplexe 

 ergeben. 



Wir gehen jetzt über zur Bestimmung der Variationszahlen Vp(n). 



Variationen. 



Um die Zahl Vp (n) zu berechnen, d. h. die Zahl der Variationen zur 

 kten Klasse aus n Elementen, gehen wir von den Variationen der ersten 

 Klasse aus. 



Es ist Vi (n) = n, da jede Variation gleich einem der Elemente n ist. 



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