436 Egon Eichwald und Audor Fodor. 



Die Zahl \\ (n) der Variationen zur 2ten Klasse ergibt sich folgender- 

 maßen: Sind die Elemente a, b, c . . . n, so erhält man Variationen, die 

 mit a beginnen, in der Zahl n — 1: nämlich mit ab, ac .... an. 



Ebenso beginnen mit b n — 1 Variationen. 

 „ ^. c n— 1 



Ebenso beginnen mit n n — 1 Variationen. 



Also gibt es insgesamt n(n — 1) Variationen, d. h. V, (n) = n('n — 1). 



Jetzt ergibt sich leicht Vgin). Mit a beginnen so viel Variationen 

 3ter Klasse, als sich aus den übrig bleibenden Gliedern Variationen zur 

 2ten Klasse bilden lassen. Es lassen sich aber aus n — 1 Gliedern (n — 1) 

 (n — 2) Variationen zur 2ten Klasse bilden. Ebenso erhält man für mit 

 b, c . . . n beginnende Variationen oter Klasse (n — l)(n — 2), so daß ins- 

 gesamt V3 (n) = n (n — 1 ) (n — 2) wird. 



Indem man diese Art der Ableitung fortsetzt, erhält man 



Vp(n) = n( n — 1) (n — 2) . . . (n — p + 1) = ^ °' , ! 



Diese Zahl von Variationen gilt für Variationen ohne Wiederholung. 



Es darf also in keinem Komplex ein Element mehr als einmal vorkommen. 



Für Variationen mit Wiederholung, bezeichnet mit V'^(n), er- 



hält man: 



V (n) = np. 

 p 



Es ist nämlich V^ (n) die Zahl der Komplexe aus n Elementen zur 

 2ten Klasse variiert, folgendermaßen zu bestimmen: 



Mit a beginnen n Komplexe, da hier im Gegensatz zu oben auch a 

 selbst folgen darf. Mit b beginnen ebenfalls n Komplexe. Für jedes der 

 n Elemente erhält man n Komplexe, also wird V^ (n) = n^. 



Vj^(n) berechnet sich ähnlich: 



Mit n beginnen soviel Komplexe, als sich aus n Elementen Kom- 

 plexe zur 2ten Klasse mit Wiederholung bilden lassen, also n"- Komplexe. 

 Da das gleiche für jedes andere Element gilt, so wird V^(n)=:n3. 



Ähnlich wird V^ (n) = \sP. 



Beispiele: Wir wollen zwei leicht kontrollierbare Beispiele der er- 



n' 



(n-pj! 



Wie groß ist die Anzahl der zweistelligen Zahlen, die aus den Zahlen 



0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sich bilden lassen: Erstens ohne Wiederholung 



und zweitens mit Wiederholung? Die Zahlen 00, Ol ... 09 wollen wir mit 



einbeziehen. 



Es ist die Zahl n der Elemente = 10 . p = 2. 



10' 10' 



Also «ird V„(n) = --^ = ^ = 90. 



haltenen Formeln Vp(n) = '—- und V'^(n) = nP berechnen. 



^ - -^ /i-» "■^P P 



