Mathematische Behaudlung biologischer Probleme. 437 



Die Anzahl der zweistelligen Zahlen mit Ausschluli derer, in denen die- 

 selbe Ziffer doppelt vorkommt, ist gleich 90. Darf dieselbe Ziffer auch doppelt 

 vorkommen, so erhält man V^flO) = 10- = 100. 



Kombinationen. 



Die bei weitem wichtigste kombinatorische Operation ist die Kom- 

 bination im engeren Sinne. Nach Definition ist Kp(n) die Zahl der Kom- 

 plexe der pten Klasse aus n Elementen so gebildet, daß nie Komplexe auf- 

 treten, die nur durch Permutation eines anderen Komplexes gebildet sind. 



Auch hier unterscheiden wir wieder Kombinationen mit und ohne 

 Wiederholung. 



Kp (n ) läßt sich leicht aus dem oben bei den Permutationen und den 

 Variationen Dargelegten ableiten. 



Es ist Vp (n) die Anzahl aller möglichen Komplexe der pten Klasse 

 aus n Elementen. Greifen wir einen bestimmten Komplex heraus, so be- 

 finden sich unter den Vp (n) Variationen soviel Komplexe, die daraus durch 

 Permutation entstehen, als wie p Elemente Permutationen bilden, also pl 

 Es sollen aber bei den Kombinationen . diese pl Komplexe in einen zu- 

 sammengezogen und als identisch betrachtet werden. Also ^nrd 



n' 



Da Vp(n)==: :, so wird 



(u — p)! 



Kp (n) = 



Vp (n: 



p: (n — p): 



Man kürzt Kp('n)ab in Up (gelesen „n über p"j. Es ist also 

 _ n! __ n (n — 1 j (n — 2) . . . (n — p -Hl ) 

 ^^~p!(n-~p)!~ 1.2.3...p. 



Diese Zahlen spielen besonders beim binomischen und polynomischen 

 Lehrsatz eine Rolle, sowie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Man nennt 

 sie Kombinationszahlen, und zwar heißt bei Up n die Basis und p der Index. 



Wir berechnen noch die Zahl K'^(n) der Kombinationen pter Klasse 

 von n Elementen mit Wiederholungen. Diese Aufgabe läßt sich auf die 

 Berechnung von Kombinationszahlen ohne Wiederholung zurückführen. 



Es seien z. B. aus a, b, c, d, e die Kombinationen zur 3teu Klasse 



