Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 445 



eintreten, und es wird gefragt, welcher Wert von x der wahrscheinlichste 

 ist, wenn E wirklich eintritt. 



sinxdx sinxdx shixdx 



Es wird W 



/sin X dx — [cos x] ^ +2 



Damit W ein Maximum wird, muß sin x ein Maximum (s. S. 351) 



dsinx ^. . r, - , _ „ 



werden, also — ■, — = cos x = o. Dies ist für x = — der Fall, 

 dx 2 



Also x = -^- 



Der wahrscheinlichste Wert der Ursache x ist demnach — . Die 



Wahrscheinlichkeit ist aber, trotzdem sie für x = -[^ ein Maximum ist. un- 



endlich klein, da sie ein Differential ist. Sie wird endlich, wenn der wahr- 

 scheinliche Wert von x zwischen bestimmten Grenzen liegen darf, z. B. 



a 



J sin X dx 



W=^;^ Wir werden bald die Bedeutung der Berechnung des 



J sin X dx 



o 



wahrscheinlichsten Wertes einer Ursache kennen lernen, nämlich in der 

 Ausgleichungsrechnung. 



Die Ausgleichungsrechnung. 



Die Ausgleichungsrechnung beschäftigt sich mit der Beurteilung der 

 Fehler von Beobachtungen, sowie vor allem damit, aus mehreren vorhan- 

 denen Beobachtungen den wahrscheinlichsten Wert herauszufinden, sie 

 „auszugleichen". 



Es ist ja bekanntlich unmöglich, irgend einen Wert mit absoluter 

 Genauigkeit festzustellen. Wenn der unbekannte wirkliche Wert einer Größe 

 X ist, so wird man durch Beobachtung nicht den Wert x erhalten, sondern 

 davon abweichende W^erte a, b, c, d, e, etc. 



Die Differenz x — a, x — b, x — c, x — d usw. nennt man den Fehler 

 V der Messung, und es fragt sich, wie man aus einer Reihe von Messungen 

 a, b, c, d usw. den wahren oder vielmehr, da der wahre Wert x^ un- 

 zugänglich ist, den wahrscheinlichsten Wert x erhält. 



Haben alle ausgeführten Messungen den gleichen Grad der Genauig- 

 keit, so wird man den wahrscheinlichsten Wert erhalten, indem man das 

 arithmetische Mittel bildet. Es wird also bei 3 Beobachtungen 



n 



x = Bei n Beobachtungen: x=:^ — . 



